Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Polja Up: Krivulje i krivuljni integrali Previous: Krivuljni integral 2. vrste   Contents   Index

Subsections

Krivulje u prostoru

Prirodna parametrizacija krivulje

Krivulju $ \Gamma {}$ možemo parametrizirati tako da za segment uzmemo $ [0,\ell(\Gamma)],$ gdje je $ \ell(\Gamma)$ duljina krivulje $ \Gamma,$ a za parametar duljinu luka od jedne rubne točke. Neka je $ S$ ona točka na krivulji, za koju je duljina luka $ \stackrel{\frown}{AS}$ upravo jednaka $ s.$ Tada stavimo $ S=\pi(s),\;\;s\in [0,\ell(\Gamma)].$ Dakle, $ \pi(s)$ je ona točka na krivulji, čija je `udaljenost' od točke $ A$ (početne točke) po luku krivulje jednaka $ s.$

Definicija 29   Parametrizacija $ ([0,\ell(\Gamma)],\vec{\pi})$ krivulje $ \Gamma {}$ se zove prirodna parametrizacija.

% latex2html id marker 28428
\includegraphics{m2prirparam.eps}

Nađimo vezu između parametrizacije $ ([a,b],r)$ i prirodne parametrizacije $ ([0,\ell(\Gamma)],\pi).$

Iz formule za duljinu luka krivulje slijedi da je duljina luka od točke $ r(a)=\pi(0)$ do točke $ S=\pi(s)=r(t)$ dana formulom

$\displaystyle s(t)=\int_a^t \vert\vec{r}\,'(\tau)\vert\,d\tau,$

tako da je

$\displaystyle r(t)=\pi\left(\int_a^t \vert\vec{r}\,'(\tau)\vert\,d\tau \right)=\pi(s(t)),$

$\displaystyle \vec{r}\,(t)=\vec{\pi}\,(s(t)).$

Iz ove druge formule slijedi

$\displaystyle \vec{r}\,'(t)=\vec{\pi}\,'(s)\,s'(t)=\vec{\pi}\,'(s)\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert.$

Dakle, $ \vec{\pi}\,'(s)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$ i to je jedinični vektor u smjeru tangente.

Definicija 30   Vektor $ \vec{\pi}\,'(s)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$ se zove jedinični vektor tangente i označava s $ \vec{T}(s).$

\includegraphics{m2vektang.eps}

Primjer 3.18   Nađimo prirodnu parametrizaciju luka kružnice radiusa $ a$ u prvom kvadrantu.

Rješenje.

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 40334\begin{cases}
x(t) = a\,\cos t, & \\
y(t) = a\,\sin t, &
\end{cases}\qquad t\in [0,\pi/2],
\end{displaymath}

$\displaystyle s(t)=\int_0^t \sqrt{a^2\sin^2\tau+a^2\cos^2\tau}\,d\tau=a\,t,$

pa je $ t=s/a,$ i prirodna parametrizacija je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 40340\begin{cases}
x(s) = a\,\cos ...
... = a\,\sin \frac{s}{a}, &
\end{cases}\qquad s\in [0,a\,\pi/2].
\end{displaymath}

Primjer 3.19   Kako treba izrezati dva jednaka pravokutna lima na jednom rubu, da bi savijeni u valjke i spojeni činili oluk pod pravim kutem?
\includegraphics{m2oluk.eps}

Rješenje. Dovoljno je riješiti problem za jedan lim. Neka stranica koju želimo rezati ima duljinu $ \ell.$ Poprečni presjek takvog lima nakon savijanja u valjak je kružnica polumjera $ r=\frac{\ell}{2\,\pi}.$ Pretpostavimo da je jedan valjak postavljen tako da mu je os simetrije os $ z,$ a drugi tako da mu je os simetrije os $ y.$ Ako se sijeku pod pravim kutem, onda se presjek nalazi u ravnini čija jednadžba je $ y+z=0.$ Tako je krivulja presjeka dana kao presjek dvije plohe, i to

$\displaystyle x^2+y^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\ell^2}{4\,\pi^2},$  
       
$\displaystyle y+z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.$  

Da bismo našli kako treba rezati lim, treba poprečni presjek $ x^2+y^2=\frac{\ell^2}{4\,\pi^2}$ parametrizirati prirodno i zatim ustanoviti kako $ z$ ovisi o prirodnom parametru. Prirodna parametrizacija je
$\displaystyle x(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\ell}{2\,\pi}\,\cos \frac{2\,\pi\,s}{\ell},$  
       
$\displaystyle y(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\ell}{2\,\pi}\,\sin \frac{2\,\pi\,s}{\ell},$  
       
$\displaystyle z(s)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -y=-\frac{\ell}{2\,\pi}\,\sin \frac{2\,\pi\,s}{\ell},
\hspace{2cm} s\in [0,\ell].$  

Iz formule za $ z$ se vidi da lim treba rezati tako da gornji rub predstavlja sinusoidu, čiji je period

$\displaystyle \tau = \frac{2\,\pi}{\frac{2\,\pi}{\ell}} = \ell.$

\includegraphics{m2oluklim.eps}

Zakrivljenost i torzija

Vektorska funkcija $ \vec{T}(s)$ ima jedinične vektore kao slike, pa je

$\displaystyle \vec{T}(s)\cdot \vec{T}(s)=1,\hspace{1cm}\forall s,$

i odatle

$\displaystyle \frac{d}{ds}(\vec{T}(s)\cdot \vec{T}(s))=
2\frac{d}{ds}(\vec{T}(s))\cdot \vec{T}(s)=0.$

Tako je vektor $ \frac{d\vec{T}(s)}{ds}=\vec{T}\,'(s)$ okomit na $ \vec{T}(s).$

Definicija 31   Vektor

$\displaystyle \vec{N}(s)=\frac{\vec{T}\,'(s)}{\vert\vec{T}\,'(s)\vert}$

zovemo jediničnim vektorom normale, a broj $ \vert\vec{T}\,'(s)\vert=\kappa(s)$ zakrivljenoš3u krivulje u točki $ \pi(s).$ Broj $ R(s)=\frac{1}{\kappa(s)}$ zovemo radiusom zakrivljenosti

\includegraphics{m2veknorm.eps}

Za proizvoljnu vrijednost prirodnog parametra $ s$ definiramo

$\displaystyle \vec{B}(s)=\vec{T}(s)\times \vec{N}(s).$

Budući da su vektori $ \vec{T}(s)$ i $ \vec{N}(s)$ jedinični i međusobno okomiti, vektor $ \vec{B}(s)$ je jediničan, i okomit na $ \vec{T}(s)$ i $ \vec{N}(s).$

Definicija 32   Vektor $ \vec{B}(s)$ zovemo jediničnim vektorom binormale.

\includegraphics{m2vekbin.eps}

Vektori $ \vec{T}(s),\vec{N}(s),\vec{B}(s)$ čine desnu ortonormiranu bazu u svakoj točki krivulje, no kako idemo po krivulji, ona rotira.

Kao i ranije zaključujemo da je $ \frac{d\vec{B}(s)}{ds}=\vec{B}\,'(s)$ okomit na $ \vec{B}(s).$ Zatim,

$\displaystyle \vec{B}\,'(s)=\vec{T}\,'(s)\times \vec{N}(s)+\vec{T}(s)\times
\vec{N}\,'(s)$

$\displaystyle =\kappa(s) \vec{N}(s)\times \vec{N}(s)+\vec{T}(s)\times
\vec{N}\,'(s)=\vec{T}(s)\times \vec{N}\,'(s).$

Odatle izlazi da je $ \vec{B}\,'(s)$ okomit i na $ \vec{T}(s).$ Tako je

$\displaystyle \vec{B}\,'(s)=-\tau(s)\vec{N}(s).$

Definicija 33   Broj $ \tau(s)$ zovemo torzijom krivulje u točki $ \pi(s).$

Prirodna parametrizacija ima značajnu teorijsku važnost, no u praktičnom računanju može biti komplicirano s njom računati. Zato su nam važne formule, koje koriste bilo koju parametrizaciju. Tako se za zakrivljenost može izvesti formula

$\displaystyle \kappa=\frac{\vert\vec{r}\,'(t)\times
\vec{r}\,''(t)\vert}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert^3}.$

Doista, iz

$\displaystyle \frac{d\vec{r}}{ds} = \vec{T},\qquad \frac{d^2\vec{r}}{ds^2} =
\kappa{}\vec{N},$

slijedi

$\displaystyle \frac{d\vec{r}}{ds}\times\frac{d^2\vec{r}}{ds^2} =
\kappa{}\vec{B},$

odnosno

$\displaystyle \kappa{} = \left\vert\frac{d\vec{r}}{ds}\times\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right\vert.$ (3.1)

Ako je krivulja parametrizirana nekim parametrom $ t,$ onda je

$\displaystyle \frac{d\vec{r}}{ds} = \frac{d\vec{r}}{dt}\,\frac{dt}{ds},\quad
\f...
...r}}{dt^2}\,\left(\frac{dt}{ds}\right)^2 +
\frac{d\vec{r}}{dt}\,\frac{d^2t}{ds}.$

Odatle

$\displaystyle \left\vert\frac{d\vec{r}}{ds}\times\frac{d^2\vec{r}}{ds^2}\right\...
...\times\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\right\vert\,\left\vert\frac{dt}{ds}\right\vert^3.$

No,

$\displaystyle \frac{dt}{ds} = \frac{1}{\frac{ds}{dt}} = \frac{1}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}.$

Ako ovo uvrstimo u (3.1), dobivamo upravo formulu za zakrivljenost pomoću proizvoljnog parametra.

Na sličan način se može izvesti formula za torziju

$\displaystyle \tau=\frac{(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\cdot \vec{r}\,'''(t)}
{\vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert^2}.$

Primjer 3.20   Naći zakrivljenost ravninske krivulje koja je graf funkcije $ f.$

Rješenje. Za parametar možemo uzeti $ x,$ pa imamo (v. sliku 3.2.3)

$\displaystyle \vec{r}(x) = x\,\vec{\imath{}} + f(x)\,\vec{\jmath{}}.$

Odatle

$\displaystyle \vec{r}\,'(x) = \vec{\imath{}} + f'(x)\,\vec{\jmath{}},\quad
\vec{r}\,''(x) = f''(x)\,\vec{\jmath{}},$

$\displaystyle \vec{r}\,'(x)\times\vec{r}\,''(x) = f''(x)\,\vec{k},\quad
\vert\vec{r}\,'(x)\times\vec{r}\,''(x)\vert = \vert f''(x)\vert,$

$\displaystyle \vert\vec{r}\,'(x)\vert^3 = \left(\sqrt{1+(f'(x))^2}\right)^3,$

pa je formula za zakrivljenost

$\displaystyle \kappa{}(x) = \frac{\vert f''(x)\vert}{\sqrt{\left(1+(f'(x))^2\right)^3}}.$

Primjer 3.21   Naći zakrivljenost helikoide.

Rješenje.

$\displaystyle \vec{r}\,'(t)=-a\,\sin t\,\vec{\imath}+a\,\cos t\,\vec{\jmath}+b\,\vec{k},$

$\displaystyle \vec{r}\,''(t)=-a\,\cos t\,\vec{\imath}-a\,\sin t\,\vec{\jmath},$

$\displaystyle \vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert=a\,\sqrt{a^2+b^2},\;\;
\vert\vec{r}\,'(t)\vert=\sqrt{a^2+b^2},$

pa je

$\displaystyle \kappa=\frac{a}{a^2+b^2}.$

Primjer 3.22   Brzina i akceleracija duž prostorne krivulje.

Rješenje. Ako se po krivulji giba materijalna točka, i parametar $ t$ predstavlja vrijeme, onda je brzina

$\displaystyle \vec{r}\,'(t)= \frac{d\,\vec{r}\,(t)}{d\,t} =
\frac{d\,\vec{\pi}\,(s)}{d\,s}\, \frac{d\,s}{d\,t} =
\frac{d\,s}{d\,t}\,\vec{T}(s).$

Vektor $ \vec{T}(s)$ je jediničan i on daje smjer brzine, dok je $ \frac{d\,s}{d\,t}= v(t)$ iznos brzine.

Akceleracija je derivacija brzine, pa je

$\displaystyle \vec{r}\,''(t) = \frac{d\,\vec{r}\,'(t)}{d\,t} =
\frac{d}{d\,t}\l...
...\,\vec{T}(s) +
\frac{d\,s}{d\,t}\,\frac{d\,\vec{T}(s)}{d\,s}\,\frac{d\,s}{d\,t}$

$\displaystyle =\frac{d^2s}{d\,t^2}\,\vec{T}(s) +
\left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)^2\,\kappa(t)\,\vec{N}(s).$

% latex2html id marker 28494
\includegraphics{m2brzakcel.eps}
Dakle, akceleracija se rastavlja na komponentu u smjeru tangente

$\displaystyle \frac{d^2s}{d\,t^2} = \frac{d\,v(t)}{d\,t} = a(t),$

koja predstavlja linijsku akceleraciju, i na komponentu u smjeru normale

$\displaystyle \left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)^2\,\kappa(t) =
\left(\frac{d\,s}{d\,t}\right)^2\,\frac{1}{R(t)} =
\frac{v^2(t)}{R(t)},$

gdje je $ R(t)$ radius zakrivljenosti. To je ustvari centripetalna akceleracija, koja u slučaju jednolikog gibanja po kružnici iznosi

$\displaystyle \frac{v^2}{r},$

jer je u tom slučaju $ R(t)=r$ radius kružnice, a $ v(t)= v.$

Primjer 3.23   Naći torziju helikoide.

Rješenje.

$\displaystyle \vec{r}\,'''(t)=a\,\sin t\,\vec{\imath}-a\,\cos t\,\vec{\jmath},$

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 40526
(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,'...
...0 \\
a\,\sin t & -a\,\cos t & 0
\end{array}\right\vert=a^2b,\end{displaymath}

$\displaystyle \vert\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)\vert^2=a^2(a^2+b^2),$

pa je tako

$\displaystyle \tau=\frac{b}{a^2+b^2}.$

Primjer 3.24   Torzija ravninske krivulje je 0.

Rješenje. Doista,

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 40533
(\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,'...
...'(t) & 0 \\
x'''(t) & y'''(t) & 0
\end{array}\right\vert=0.\end{displaymath}

Trobrid pratilac

Definicija 34   Vektori $ \vec{T}(s),\vec{N}(s),\vec{B}(s)$ čine desnu ortonormiranu bazu i zovu se trobrid pratilac krivulje. Ravnine, koje oni razapinju su važne za danu krivulju i zovu se kako slijedi
1.
normalna ravnina razapeta s $ \vec{N}(s),\vec{B}(s),$ a vektor normale je $ \vec{T}(s).$
2.
rektifikacijska ravnina razapeta s $ \vec{B}(s),\vec{T}(s),$ a vektor normale je $ \vec{N}(s).$
3.
oskulacijska ravnina razapeta s $ \vec{T}(s),\vec{N}(s),$ a vektor normale je $ \vec{B}(s).$

\includegraphics{m2osnorekt.eps}

Bilo da želimo naći vektore $ \vec{T}(s),\vec{N}(s),\vec{B}(s)$ ili jednadžbe ovih ravnina, dovoljno je naći vektore u smjeru vektora trobrida pratioca, jer je nakon toga lako normirati ih.

a)

$\displaystyle \vec{T}(s)=\frac{1}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}\,\vec{r}\,'(t),$

pa je $ \vec{r}\,'(t)$ vektor u smjeru vektora $ \vec{T}(s).$

b) Zatim

$\displaystyle \vec{r}\,'(t)=\vert\vec{r}\,'(t)\vert\,\vec{T}(s),$

$\displaystyle \vec{r}\,''(t) = \alpha\,\vec{T}(s) + \vert\vec{r}\,'(t)\vert\,\f...
...T}(s)}{dt},\qquad \alpha = \frac{ds}{dt}\,\left(\vert\vec{r}\,'(t)\vert\right),$

$\displaystyle \frac{d\vec{T}(s)}{dt} = \frac{d\vec{T}(s)}{ds}\,\frac{ds}{dt} = ...
...\frac{ds}{dt} = \left\vert\vec{T},'(s)\right\vert\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0.$

Dakle

$\displaystyle \vec{r}\,''(t)=\alpha\,\vec{T}(s)+\gamma\,\vec{N}(s), \qquad \gamma = \beta\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0,$

$\displaystyle \vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)=\delta\,\vec{B}(s), \qquad \delta = \gamma\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0.$

Tako je $ \vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)$ vektor u smjeru vektora $ \vec{B}(s).$

c) Konačno,

$\displaystyle (\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\times \vec{r}\,'(t) =
\delt...
...ec{T}(s) = \eta\,\vec{N}(s), \qquad \eta = \delta\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert > 0,$

pa je $ (\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\times \vec{r}\,'(t)$ vektor u smjeru vektora $ \vec{N}(s).$

Primjer 3.25   Naći normalnu, rektifikacijsku i oskulacijsku ravninu na helikoidu u točki $ t=\frac{\pi}{4}.$

Rješenje.

$\displaystyle T=(a\frac{\sqrt{2}}{2},a\frac{\sqrt{2}}{2},b\frac{\pi}{4}).$

a)

$\displaystyle \vec{r}\,'(\frac{\pi}{4})=-a\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}+
a\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath}+b\,\vec{k},$

pa je jednadžba normalne ravnine

$\displaystyle {\frac{-\left( {b^2}\,\pi \right) }{4}} +
{\frac{a\,\left( -x + y \right) }{{\sqrt{2}}}} + b\,z=0.$

b)

$\displaystyle \vec{r}\,''(\frac{\pi}{4})=-a\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}-
a\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath},$

$\displaystyle \vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t)=a\,b\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}-
a\,b\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath}+a^2\,\vec{k},$

pa je jednadžba oskulacijske ravnine

$\displaystyle 2\,{\sqrt{2}}\,b\, \left( -x + y \right) +
a\,\left( b\,\pi - 4\,z \right)=0.$

c)

$\displaystyle (\vec{r}\,'(t)\times \vec{r}\,''(t))\times \vec{r}\,'(t)=
-(a\,b^...
...rac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\imath}-
(a\,b^2+a^3)\,\frac{\sqrt{2}}{2}\,\vec{\jmath},$

pa je jednadžba rektifikacijske ravnine

$\displaystyle 2\,a - {\sqrt{2}}\,\left( x + y \right)=0.$

Pitanja

1.
Objasnite pojam parametrizacija krivulje. Koju parametrizaciju zovemo prirodnom?
2.
Kako se definiraju zakrivljenost i torzija glatke krivulje? Kojim formulama se računaju?
3.
Što je trobrid pratilac?
4.
Definirajte oskulacijsku, normalnu i rektifikacijsku ravninu. Kako se mogu naći njihove jednadžbe?

Riješeni zadaci

1.
Što predstavlja helikoida kad se valjak, na koji je namotana razreže po jednoj izvodnici i izravna?

Rješenje. Parametrizacija helikoide je

$\displaystyle \vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k},
\hspace{1cm} t\in [0,2\pi]$

Da bismo riješili zadatak, treba prijeći na prirodni parametar poprečnog presjeka $ \vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin
t\,\vec{\jmath},$ i ustanoviti kako $ z$ ovisi o njemu. Lako se izračuna da je $ s=a\,t,$ pa je parametrizacija helikoide tim parametrom

$\displaystyle \vec{r}\,(s)=a\,\cos \frac{s}{a}\,\vec{\imath}+a\,\sin
\frac{s}{a}\,\vec{\jmath}+b\,\frac{s}{a}\,\vec{k},
\hspace{1cm} t\in [0,2\,a\,\pi].$

Odatle imamo

$\displaystyle z(s)=b\,\frac{s}{a},$

tj. helikoida, kad se razmota, postaje pravac s koeficijentom smjera $ \frac{b}{a}.$

2.
Prirodno parametrizirati prvi zavoj helikoide.

Rješenje. Koristeći parametrizaciju iz zadatka 1 imamo

$\displaystyle s = \int_0^t \sqrt{x'(\tau{})^2 + y'(\tau{})^2 +
z'(\tau{})^2}\,d\tau{} = \left( {a^2} + {b^2} \right) \,t.$

Odatle

$\displaystyle t = \frac{s}{{a^2} + {b^2}},\qquad \ell(\Gamma{}) =
\left.s\right\vert _{t=2\pi} = 2\,\left( {a^2} + {b^2} \right) \,\pi.$

Tako je prirodna parametrizacija prvog zavoja helikoide

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 40626\begin{cases}
\displaystyle x(...
...&
\end{cases}\qquad s\in [0,2\left( {a^2} + {b^2} \right)\pi].
\end{displaymath}

3.
Naći oskulacijsku, normalnu i rektifikacijsku ravninu Vivianijeve krivulje u točki $ P=\left(\frac{R}{2},\cdot{},\cdot{}\right)$.

Rješenje. Parametrizacija Vivianijeve krivulje glasi (v. zadatak 2)

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 40630\begin{cases}
x(\vartheta)=R\...
...rtheta, &
\end{cases} \qquad \vartheta{}\in [0,\frac{\pi}{2}].
\end{displaymath}

Iz $ x(\vartheta)=\frac{R}{2}$ slijedi $ \vartheta{}=\frac{\pi}{4},$ pa je $ P=(\frac{R}{2},\frac{R}{2},\frac{R\sqrt{2}}{2}).$

Imamo

$\displaystyle \vec{r}\,'(\vartheta) = 2\,R\,\cos \vartheta\, \sin
\vartheta\,\v...
...} - R\,{{\sin^2
\vartheta}} \right)\,\vec{\jmath} - R\,\sin
\vartheta\,\vec{k},$

$\displaystyle \vec{r}\,''(\vartheta) = 2\,R\,\left( {{\cos^2 \vartheta}} - {{\s...
...\,R\,\cos \vartheta\,\sin
\vartheta\,\vec{\jmath} - R\,\cos \vartheta\,\vec{k},$

pa je

$\displaystyle \vec{T} \sim 2\,R\,\cos \vartheta\, \sin
\vartheta\,\vec{\imath} ...
...} - R\,{{\sin^2
\vartheta}} \right)\,\vec{\jmath} - R\,\sin
\vartheta\,\vec{k},$

$\displaystyle \vec{N} \sim - \frac{R^3}{4}\,\left( 3 - 12\,\cos 2\vartheta + \c...
...heta + \sin 4\vartheta \right)\,\vec{\jmath} - {R^3}\,\cos
\vartheta \,\vec{k},$

$\displaystyle \vec{B} \sim {R^2}\,\cos \vartheta\,\left( -2 + \cos 2\vartheta
\...
...\vec{\imath} + 2\,{R^2}\,{{\sin^3 \vartheta}}\,\vec{\jmath}
-2\,{R^2}\,\vec{k}.$

Skalarni produkti ovih vektora, uzetih u točki $ P,$ s vektorom

$\displaystyle \left( {\frac{-R}{2}} + x \right)\,\vec{\imath} + \left(
{\frac{-...
...+ y \right)\,\vec{\jmath} + \left(
-{\frac{R}{{\sqrt{2}}}} + z \right)\,\vec{k}$

izjednačeni s nulom daju tražene ravnine. Tako je jednadžba oskulacijske ravnine

$\displaystyle 5\,{\sqrt{2}}\,R - 4\,{\sqrt{2}}\,x + 2\,{\sqrt{2}}\,y - 8\,z = 0,$

normalne ravnine

$\displaystyle -2\,R + x + y + {\sqrt{2}}\,z = 0,$

rektifikacijske ravnine

$\displaystyle 9\,R - 2\,\left( x + 6\,y + {\sqrt{2}}\,z \right) = 0.$


next up previous contents index
Next: Polja Up: Krivulje i krivuljni integrali Previous: Krivuljni integral 2. vrste   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11