Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Krivulje u prostoru Up: Krivulje i krivuljni integrali Previous: Krivuljni integral 1. vrste   Contents   Index

Subsections

Krivuljni integral 2. vrste. Greenov teorem

Orijentacija krivulje. Problem rada

Orijentacija krivulje

Neka je $ \Gamma {}$ glatka krivulja u prostoru (Jordanov luk). U svakoj točki krivulje postoji tangenta. Orijentirati krivulju $ \Gamma {}$ znači u svakoj točki krivulje odabrati jedan od dva moguća jedinična vektora u smjeru tangente.

\includegraphics{m2orijkriv.eps}
Ima beskonačno mnogo načina da se krivulja orijentira. Međutim, ako želimo da to pridruživanje bude neprekidno, onda imamo samo dva načina, i to tako da jedinični vektori tangente pokazuju gibanje po krivulji u određenom smjeru, na pr. od $ A$ do $ B,$ ili u njemu suprotnom smjeru, od $ B$ do $ A.$

Parametrizacija $ ([a,b],\vec{r}\,)$ nudi jednu takvu orijentaciju, jer je parametrizacijom potpuno zadan vektor $ \frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$ koji je upravo jedinični vektor tangente na krivulju $ \Gamma {}$ u točki $ (x(t),y(t),z(t)).$ U daljnjem ćemo pretpostavljati da su parametrizacija i orijentacija u skladu.

Primjer 3.12   Neka je $ \Gamma {}$ jedinična kružnica sa središtem u ishodištu. Parametrizacija
$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos t$  
$\displaystyle y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin t, \hspace{2cm} t\in [0,2\,\pi]$  

daje jednu orijentaciju, dok
$\displaystyle x(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos t$  
$\displaystyle y(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin t, \hspace{2cm} t\in [0,2\,\pi]$  

daje suprotnu orijentaciju.

Ako je glatka krivulja $ \Gamma {}$ zatvorena i nalazi se u ravnini, onda kažemo da je pozitivno orijentirana, ako vektori tangente nalažu gibanje po krivulji protivno kretanju kazaljke na satu. U suprotnom, kažemo da je krivulja negativno orijentirana.

Orijentiranu krivulju $ \Gamma {}$ ćemo zapisivati kao $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}.$

Problem rada sile po krivulji

Neka je $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u prostoru. Neka je $ A$ početna, a $ B$ završna točka krivulje. Neka se krivulja nalazi u polju neke sile. To znači da u svakoj točki $ P$ krivulje djeluje akceleracija $ \vec{a}(P).$ Da bi materijalna točka mase $ m$ po krivulji prešla put od početne točke $ A$ do završne točke $ B,$ potrebno je izvršiti neki rad. Interesira nas koliko iznosi potrebni rad. Da bismo ga izračunali, podijelimo krivulju točkama $ A=P_0,P_1, P_2,\ldots,P_n=B$ na manje dijelove. Rad sile duž orijentiranog luka $ \overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ je približno

% latex2html id marker 39847
$\displaystyle \Delta{}W_i\approx m\,\vec{a}(T_i)\cdot
\overrightarrow{P_{i-1}P_i},$

gdje je $ T_i$ proizvoljno izabrana točka na luku $ \overset{\frown}{P_{i-1}P_i}.$
\includegraphics{m2krivint2.eps}
Ukupni rad je približno jednak

% latex2html id marker 39854
$\displaystyle W=\sum_{i=1}^n \Delta{}W_i\approx \sum_{i=1}^n m\,\vec{a}(T_i)\cdot
\overrightarrow{P_{i-1}P_i}.$

Očekujemo da će ova približna vrijednost biti to bliže pravoj vrijednosti rada, što finiju podjelu krivulje napravimo.

Krivuljni integral 2. vrste

Neka je $ \Omega$ područje u $ R^3,$ i $ \vec{a}:\Omega \rightarrow
X_O(E)$ vektorska funkcija. Neka je $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u $ \Omega$ tako da je $ A$ početna, a $ B$ završna točka. Podijelimo krivulju na manje dijelove točkama $ A=P_0,P_1,
P_2,\ldots,P_n=B.$ Na dijelu krivulje $ \overset{\frown}{P_{i-1}P_i}$ izaberimo proizvoljno točku $ T_i,$ i to za svaki $ i=1,2,\ldots,n.$ (v. sliku 3.3.1.) Uočimo sljedeću sumu

$\displaystyle s_n = \sum_{i=1}^n
m\,\vec{a}(T_i)\cdot\overrightarrow{P_{i-1}P_i}.$

Broj $ s_n$ ovisi o broju $ n,$ i o točkama $ P_i$ i $ T_i.$ Pustimo da $ n\rightarrow{}\infty{},$ i pri tom neka su podjele takve da duljina najvećeg dijela krivulje teži k $ 0.$ Ako uz te uvjete $ s_n$ teži prema nekom broju $ K,$ onda se taj broj zove krivuljni integral 2. vrste vektorske funkcije $ \vec{a}$ po krivulji $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma},$ i piše se

$\displaystyle K = \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r}.$


Svojstva krivuljnog integrala 2. vrste

1.
$ \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} (\alpha \,\vec{a}+\beta\,
\vec{b}\,)...
...d\vec{r}+\beta \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
\vec{b}\cdot d\vec{r}.$
2.
$ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}=
\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_1 \cup
...
...dot d\vec{r}+\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}_2}
\vec{a}\cdot d\vec{r}.$
3.
$ \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}=-
\int_{\overset{\curvearrowleft}{\Gamma}} \vec{a}\cdot d\vec{r}.$

Računanje krivuljnog integrala 2. vrste

Neka je $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ glatka orijentirana krivulja u prostoru, i neka je njezina parametrizacija $ ([a,b],\vec{r}\,),$ gdje je

$\displaystyle \vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}+z(t)\,\vec{k}$

u skladu s orijentacijom. Neka je na $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ zadana vektorska funkcija $ \vec{a}:\overset{\curvearrowright}{\Gamma}{}\rightarrow{}R,$ takva da postoji

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot{}d\vec{r}.$

Podijelimo segment $ [a,b]$ na podsegmente

$\displaystyle a=t_0<t_1<t_2<\ldots<t_{n-1}<t_n=b.$

Tako dobivamo točke na krivulji

$\displaystyle A=P_0=(x(t_0),y(t_0),z(t_0)),\quad P_1=
(x(t_1),y(t_1),z(t_1)),$

$\displaystyle P_2=(x(t_2),y(t_2),z(t_2)),\quad \ldots,\quad
P_n=(x(t_n),y(t_n),z(t_n))=B.$

Izaberimo $ \xi_i\in [t_{i-1},t_i]$ proizvoljno, i neka je $ T_i=(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i)).$ Tada je

$\displaystyle s_n = \sum_{i=1}^n \vec{a}(T_i)\cdot \overrightarrow{P_{i-1}P_i}
=$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n \vec{a}(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\cdot
\left((x(t_...
...ath} +
(y(t_i)-y(t_{i-1}))\,\vec{\jmath} +
(z(t_i)-z(t_{i-1}))\,\vec{k}\right).$

Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti, postoje $ \rho_i,
\sigma_i, \tau_i\in [t_{i-1},t_i]$ takvi da je

$\displaystyle x(t_i)-x(t_{i-1}) = x'(\rho_i)\,(t_i-t_{i-1}),$

$\displaystyle y(t_i)-y(t_{i-1}) = y'(\sigma_i)\,(t_i-t_{i-1}),$

$\displaystyle z(t_i)-z(t_{i-1}) = z'(\tau_i)\,(t_i-t_{i-1})$

za svaki $ i=1,2,\ldots,n.$ Slijedi

$\displaystyle s_n = \sum_{i=1}^n \vec{a}(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\cdot
\left...
...ath} + y'(\sigma_i)\,\vec{\jmath} +
z'(\tau_i)\,\vec{k}\right)\,(t_i-t_{i-1}) =$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n
\left(a_x(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\,x'(\rho_i) +
...
...(\sigma_i) +
a_z(x(\xi_i),y(\xi_i),z(\xi_i))\,z'(\tau_i)\right)\,(t_i-t_{i-1}).$

Ovo je integralna suma za funkciju

$\displaystyle \left(a_x(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) +
a_y(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) +
a_z(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\right).$

Prema tome krivuljni integral 2. vrste se računa po formuli

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}(x,y,z)\cdot
d\vec{r} =$

$\displaystyle \int_{a}^{b} \left(a_x(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) +
a_y(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) +
a_z(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\right)\,dt.$

Krivuljni integral 2. vrste se može zapisati i na sljedeći način

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r}=\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
a_x\,dx+a_y\,dy+a_z\,dz.$

To dolazi odatle što se u formuli za $ s_n$ može pisati $ \Delta{}x_i$ umjesto $ x(t_i)-x(t_{i-1}),$ $ \Delta{}y_i$ umjesto $ y(t_i)-y(t_{i-1})$ i $ \Delta{}z_i$ umjesto $ z(t_i)-z(t_{i-1}).$

Primjer 3.13   Izračunati $ \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r},$ ako je $ \vec{a}=2\,x\,y\,\vec{\imath}+ x^2\,\vec{\jmath},$ a krivulja $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ je
a)
dio pravca $ y=x$ od točke $ x=0$ do $ x=1.$
b)
dio parabole $ y=x^2$ od točke $ x=0$ do $ x=1.$

Rješenje. a) Za parametar možemo uzeti $ x.$ Tako je

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r}=\...
...\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
2\,x\,y\,dx+x^2\,dy=\int_0^1 3\,x^2\,dx=1.$

b) Također za parametar možemo uzeti $ x.$

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r}=\...
...\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
2\,x\,y\,dx+x^2\,dy=\int_0^1 4\,x^3\,dx=1.$

Primjer 3.14   Izračunati rad sile $ \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{\imath}+
y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}$ duž prvog zavoja helikoide $ \vec{r}\,(t)=a\,\cos t\,\vec{\imath}+a\,\sin
t\,\vec{\jmath}+b\,t\,\vec{k}$ od točke $ t=0$ do $ t=2\,\pi.$

Rješenje.

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{F}\cdot
d\vec{r}=\...
...,\pi} \left(a\,\cos t\,(-a\,\sin t) + a\,\sin t\,a\,\cos t +
b\,t\,b\right)\,dt$

$\displaystyle = \int_0^{2\,\pi} {b^2}\,t\,dt=2\,{b^2}\,{{\pi
}^2}.$

Veza između krivuljnog integrala 1. vrste i krivuljnog integrala 2. vrste

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r} = \int_a^b \vec{a}\,(x(t),y(t),z(t))\cdot
\vec{r}\,'(t)\,dt = $

$\displaystyle \int_a^b \vec{a}\,(x(t),y(t),z(t))\cdot
\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}\,\vert\vec{r}\,'(t)\vert\,dt.$

Vektor

$\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\vert\vec{r}\,'(t)\vert}$

je jedinični vektor tangente, dok je

$\displaystyle \vert\vec{r}\,'(t)\vert = \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}.$

Tako imamo

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{a}\cdot
d\vec{r} ...
...{a}\,(x(t),y(t),z(t))\cdot \vec{T}\,
\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}\,dt =$

$\displaystyle \int_{\Gamma} \left(\vec{a}\cdot \vec{T}\right)\,ds.$

Zadnji integral je krivuljni integral 1. vrste skalarne funkcije $ \vec{a}\cdot \vec{T}.$ Krivuljni integral 1. vrste ne ovisi o orijentaciji. To se vidi iz formule za računanje

$\displaystyle \int_{\Gamma} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t),z(t))\,
\vert\vec{r}\,'(t)\vert\,dt$

iz koje je jasno da smjer vektora tangente nije bitan. S druge strane krivuljni integral 2. vrste ovisi o orijentaciji, kao što se tvrdi u 3. svojstvu 3.3.2. Odgovor na pitanje: kako se mogu povezati integrali od kojih jedan mijenja znak prilikom promijene orijentacije, a drugi ne, leži u činjenici da se u podintegralnoj funkciji krivuljnog integrala 1. vrste pojavio vektor $ \vec{T},$ koji prilikom promjene orijentacije mijenja znak.

Greenov teorem

Jednostruko povezano područje $ \Omega$ u $ R^2$ je područje koje ima svojstvo da se svaka zatvorena krivulja u $ \Omega$ može bez prekidanja stegnuti na točku ne izlazeći iz $ \Omega.$ Na slici 2.3 imamo primjer područja koje je jednostruko povezano. S druge strane na slici 1.5 imamo primjer područja koje nije jednostruko povezano. Ako opišemo zatvorenu krivulju u području oko šupljine, onda nije moguće stegnuti tu krivulju bez kidanja na točku ne izlazeći iz područja. Takvo područje se zove višestruko povezano područje.

Teorem 18   (Greenov teorem) Neka je $ \Omega$ jednostruko povezano područje u $ R^2,$ i neka su $ M,N:\Omega \rightarrow R$ funkcije klase $ C^1(\Omega).$ Neka je u $ \Omega$ zadana jednostavna glatka zatvorena pozitivno orijentirana krivulja $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}.$ Neka je $ D$ područje u $ \Omega$ koje omeđuje $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}.$ Tada vrijedi sljedeća formula.

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-
\frac{\partial ...
...ght) \,dx\,dy=
\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy.$

Dokaz. Izračunajmo najprije $ \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx$

Figure 3.3: Greenov teorem.
\includegraphics{m2green.eps}

Krivulju $ \Gamma {}$ možemo shvatiti kao uniju od dvije krivulje $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_1$ parametrizirane kao $ (x,f_1(x)),\;x\in [a,b],$ i $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_2$ parametrizirane kao $ (x,f_2(x)),\;x\in [a,b].$ Tako je

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx=
\int_a^b M(...
...b M(x,f_2(x))\,dx= \int_a^b
\left. M(x,y)\,\right\vert _{f_2(x)}^{f_1(x)}\,dx =$

$\displaystyle \int_a^b
\left(\int_{f_2(x)}^{f_1(x)} \frac{\partial M(x,y)}{\par...
...tial
y}\,dy\right) \,dx = -\iint_D \frac{\partial M(x,y)}{\partial
y} \,dx\,dy.$

Na sličan način možemo izračunati da je

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} N(x,y)\,dy = \iint_D
\frac{\partial N(x,y)}{\partial x} \,dx\,dy,$

shvaćajući $ \Gamma {}$ kao uniju od $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_3$ parametrizirane kao $ (g_1(y),y),\;y\in [c,d],$ i $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_4$ parametrizirane kao $ (g_2(y),y),\;y\in [c,d].$ Sada, međutim, idući od $ c$ do $ d,$ predznak $ +$ ima krivuljni integral po $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_4,$ a $ -$ onaj po $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}_3,$ pa nema potrebe mijenjati granice. $ \heartsuit$

Formula u ovom teoremu se zove Greenova formula. Kako se iz formule vidi, tu se radi o vezi između krivuljnog integrala 2. vrste po zatvorenoj pozitivno orijentiranoj krivulji u ravnini i dvostrukog integrala po području omeđenom tom krivuljom.

Primjer 3.15   Provjerimo Greenovu formulu na primjeru funkcija

$\displaystyle M(x,y)=-{\frac{y}{{x^2} + {y^2}}},\hspace{1cm} N(x,y)=
{\frac{x}{{x^2} + {y^2}}},$

i središnje kružnice radiusa $ 1.$

Rješenje.

$\displaystyle \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial
y} = 0.$

S druge strane, uz parametrizaciju kružnice $ (\cos t,\sin t),\;t\in
[0,2\,\pi],$ imamo

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy =
\int_0^{2\,\pi} \left(-\sin t\,(-\sin t)+\cos t\,\cos t\right)\,dt =
2\,\pi.$

Dakle, Greenova formula ne vrijedi. Uzrok tome je što uvjeti Greenovog teorema nisu bili ispunjeni. Funkcije $ M$ i $ N$ nisu klase $ C^1(\Omega).$ Dapače, u točki $ (0,0)$ nisu uopće definirane.

Greenov teorem ima važnu ulogu u teorijskim razmatranjima u primjeni matematike. No, i u praktičnom računanju može se koristiti, posebno kad prilikom računanja krivuljnog integrala vodi na jednostavan dvostruki integral.

Primjer 3.16   Izračunati $ \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
(3\,{x^2}\,y + {y^2})\,dx+({x^3} + 2\,x\,y)\,dy,$ gdje je $ \Gamma {}$ pozitivno orijentirana kružnica $ (x-p)^2+(y-q)^2=r^2.$

Rješenje. Funkcije $ M$ i $ N$ zadovoljavaju uvjete Greenovog teorema,

$\displaystyle \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial
y} = 0,$

pa je

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
(3\,{x^2}\,y + {y^2})\,dx+({x^3} + 2\,x\,y)\,dy=0.$

Površina pomoću krivuljnog integrala

Pomoću krivuljnog integrala 2. vrste po pozitivno orijentiranom rubu lika $ L$ u ravnini može se, zahvaljujući Greenovoj formuli, naći površina lika $ L.$ Površina lika $ L$ je

$\displaystyle P(L)=\int\int_{L} dx\,dy.$

Neka je $ M(x,y)=-\frac{1}{2}\,y,$ a $ N(x,y)=\frac{1}{2}\,x.$

$\displaystyle \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial
y} = 1,$

pa je

$\displaystyle \int\int_{L} dx\,dy= \int\int_{L} \left(\frac{\partial
N(x,y)}{\p...
...t)\,
dx\,dy = \frac{1}{2}\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}x\,dy
-y\,dx,$

gdje je $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ pozitivno orijentiran rub lika $ L.$ Tako imamo formulu za površinu lika

$\displaystyle P(L)=\frac{1}{2}\,\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}x\,dy -y\,dx.$

Primjer 3.17   Naći površinu lika omeđenog elipsom $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Rješenje. Parametrizacija elipse je

$\displaystyle x=a\, \cos t,\hspace{1cm}y=b\, \sin t,\hspace{1cm}t\in [0,2\,\pi],$

$\displaystyle dy=b\, \cos t\,dt,\hspace{1cm}dx= -a\, \sin t\,dt,$

pa je

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\int_0^{2\,\pi}\left(a\,b\,\cos^2t+
a\,b\,\sin^2t\right)\,dt=a\,b\,\pi.$

Pitanja

1.
Što znači orijentirati glatku krivulju? Zašto ima smisla govoriti o orijentaciji samo kod glatkih krivulja?
2.
Definirajte krivuljni integral 2. vrste. Koji problem rješava? Kako se računa? Koja svojstva ima?
3.
Koja je veza između krivuljnih integrala 1. i 2. vrste?
4.
Kako glasi Greenov teorem? Dokažite ga.
5.
Kako se može računati površina ravninskog lika pomoću krivuljnog integrala?

Riješeni zadaci

1.
Neka je $ D$ jednostruko povezano područje, i neka je $ \vec{a}\,(x,y)=P(x,y)\,\vec{\imath}+Q(x,y)\,\vec{\jmath}$ vektorska funkcija klase $ C^1(D).$ Neka je $ \overset{\curvearrowright}{\Gamma}$ zatvorena, pozitivno orijentirana, po dijelovima glatka krivulja u $ D,$ i neka je $ \vec{n}$ vektorska funkcija jediničnih vanjskih vektora normale na krivulju $ \Gamma.$ Dokažite da vrijedi

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial{}P(x,y)}{\partial{}x} +
\frac{\parti...
... P(x,y)\,\vec{\imath} +
Q(x,y)\,\vec{\jmath}\, \right)\cdot \vec{n}\,(x,y)\,ds.$

Rješenje. Vektori $ \vec{T}$ i $ \vec{n}$ su jedinični, pa se iz slike 3.4 vidi da je,

Figure 3.4: Vektori tangente i normale na ravninsku krivulju.
\includegraphics{m2tgnm.eps}

$\displaystyle n_x = \cos{}\varphi{}, \qquad n_y = \sin{}\varphi{},$

$\displaystyle T_x = \cos{}\left(\varphi{} + \frac{\pi{}}{2}\right) =
-\sin{}\varphi{} = - n_y,$

$\displaystyle T_y = \sin{}\left(\varphi{} + \frac{\pi{}}{2}\right) =
\cos{}\varphi{} = n_x.$

Dakle

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \left(
P(x,y)\,\vec{\im...
...overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \left(
P(x,y)\,n_x + Q(x,y)\,n_y \right)\,ds$

$\displaystyle =
\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \left( P(x,y)\,T_y -
...
... -Q(x,y)\,\vec{\imath} + P(x,y)\,\vec{\jmath}\, \right)\cdot
\vec{T}\,(x,y)\,ds$

$\displaystyle = \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}
-Q(x,y)\,dx + P(x,y)\...
...al{}P(x,y)}{\partial{}x} +
\frac{\partial{}Q(x,y)}{\partial{}y}\right)\,dx\,dy.$

Zadnja jednakost vrijedi zahvaljujući Greenovom teoremu.
2.
U ravnini djeluje polje sile $ \vec{F}=x\,y\,\vec{\imath{}}+(x+y)\,\vec{\jmath{}}.$ Naći rad sile po a) pravcu $ y=x,$ b) po paraboli $ y=x^2$ od točke $ (0,0)$ do točke $ (1,1).$

Rješenje. a) Imamo parametrizaciju $ \vec{r}=x\,\vec{\imath{}}+x\,\vec{\jmath{}},$ $ x\in [0,1].$ Odatle $ d\vec{r}=dx\,\vec{\imath{}}+dx\,\vec{\jmath{}},$ i prema tome

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{F}\cdot{}d\vec{r} =
\int_0^1 (x^2 + x+x)\,dx = \frac{4}{3}.$

b) U ovom slučaju imamo $ \vec{r}=x\,\vec{\imath{}}+x^2\,\vec{\jmath{}},$ $ x\in [0,1].$ Odatle $ d\vec{r}=dx\,\vec{\imath{}}+2\,x\,dx\,\vec{\jmath{}},$ i prema tome

$\displaystyle \int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}} \vec{F}\cdot{}d\vec{r} =
\int_0^1 (x^3 + 2\,(x+x^2)\,x)\,dx = \frac{17}{12}.$

3.
Izračunati površinu lika što ga omeđuju jedan luk cikloide $ x = a\,(t-\sin{}t),$ $ y = a\,(1-\cos{}t),$ $ t\in [0,2\pi]$ i os $ x,$ pomoću krivuljnog integrala 2. vrste.

Rješenje.

$\displaystyle P = \frac{1}{2}\int_{\overset{\curvearrowright}{\Gamma}}x\,dy
-y\,dx.$

Duž osi $ x$ imamo $ y=0,$ i $ dy=0,$ pa taj dio ne doprinosi ništa površini. Da orijentacija ruba lika bude pozitivna, trebamo integrirati po cikloidi od $ t=2\,\pi$ do $ t=0.$ Dakle

$\displaystyle P = \frac{1}{2}\,\int_{2\,\pi}^0 \left(a^2\,\sin{}t\,(t-\sin{}t) -
a^2\,(1-\cos{}t)^2\right)\,dt = 3\,{a^2}\,\pi.$


next up previous contents index
Next: Krivulje u prostoru Up: Krivulje i krivuljni integrali Previous: Krivuljni integral 1. vrste   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11