Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Supremum i infimum Up: Dodaci Previous: Dodaci   Contents   Index

Subsections


Skup kompleksnih brojeva

Kompleksni brojevi

Skup

$\displaystyle C=\{a+b\,i;\;a,b\in R\},$

gdje je $ i$ broj koji ima svojstvo

$\displaystyle i^2=-1,$

se zove skup kompleksnih brojeva. Ako je

$\displaystyle z=a+b\,i,$

onda imamo sljedeće oznake. $ a$ je realan dio kompleksnog broja $ z$ i piše se $ a=\Re e\,z,$ $ b$ je imaginaran dio kompleksnog broja $ z$ i piše se $ b=$Im$ \,z,$ $ i$ je imaginarna jedinica.

Broj

$\displaystyle \overline{z}=a-b\,i$

se zove kompleksno konjugiran broju $ z.$

Operacije s kompleksnim brojevima

Neka je $ z=a+b\,i, w=c+d\,i.$

$\displaystyle z+w=(a+b\,i)+(c+d\,i)=(a+c)+(b+d)i,$

$\displaystyle zw=(a+b\,i)(c+d\,i)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Lako se provjeri da su ovako definirani zbrajanje i množenje komutativni, tj. da vrijedi

$\displaystyle z+w=w+z,\;\;zw=wz,$

asocijativni, tj. da vrijedi

$\displaystyle (z+w)+u=z+(w+u),\;\;(zw)u=z(wu),$

i da je množenje distributivno u odnosu na zbrajanje, tj. da vrijedi

$\displaystyle z(w+u)=zw+zu.$

Kompleksni broj je jednak nuli samo ako je $ a=0, b=0.$ Svaki od nule različit kompleksni broj ima sebi recipročan, tj. ako je $ z=a+b\,i\neq 0,$ onda postoji $ \frac{1}{z}=z^{-1},$ i pri tom je

$\displaystyle \frac{1}{z}=\frac{a}{a^2+b^2}+\frac{-b}{a^2+b^2}\,i.$

Također vrijedi

$\displaystyle \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w},\;\;
\overline{zw}=\over...
...{w},\;\;
\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{w}},$

$\displaystyle \overline{\overline{z}}=z,\;\;\Re e\,z=\frac{z+\overline{z}}{2},\;\;$   Im$\displaystyle \,z=\frac{z-\overline{z}}{2\,i}.$

Modul kompleksnog broja je realan broj

$\displaystyle \vert z\vert=\vert a+b\,i\vert=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$

U odnosu na operacije, modul ima sljedeća svojstva.

$\displaystyle \vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert,\;\;
\vert zw\vert=\...
...ert=\frac{\vert z\vert}{\vert w\vert},\;\;
\vert\overline{z}\vert=\vert z\vert.$

Dokažimo da vrijedi $ \vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert.$ Uočimo najprije da je

$\displaystyle \vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\Re e\,z)^2+(\text{Im}\,z)^2}\geq
\vert\Re e\,z\vert\geq \Re e\,z,$

$\displaystyle \vert zw\vert=\sqrt{zw\overline{z}\overline{w}}=
\sqrt{z\overline{z}w\overline{w}}=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}=\vert z\vert\vert w\vert,$

$\displaystyle \vert\overline{z}\vert=\sqrt{a^2+(-b)^2}=\vert z\vert.$

Sada imamo

$\displaystyle \vert z+w\vert^2=(z+w)(\overline{z}+\overline{w})=
\vert z\vert^2...
...w\vert^2=
\vert z\vert^2+z\overline{w}+\overline{z\overline{w}}+\vert w\vert^2=$

$\displaystyle \vert z\vert^2+2\Re e(z\overline{w})+\vert w\vert^2\leq \vert z\vert^2+2\vert z\vert\vert w\vert+\vert w\vert^2=
(\vert z\vert^2+\vert w\vert^2)^2.$

Nakon vađenja drugog korijena, zbog pozitivnosti brojeva $ \vert z+w\vert$ i $ \vert z\vert+\vert w\vert,$ slijedi

$\displaystyle \vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert.$

Gaussova ravnina

Svaki kompleksni broj je potpuno zadan s dva realna broja, i pri tom je važno koji je prvi (realni dio) a koji drugi (imaginarni dio). Obratno, svakom uređenom paru realnih brojeva $ (a,b)$ možemo pridružiti kompleksni broj $ z=a+b\,i.$ Tako je dano obostrano jednoznačno pridruživanje između skupova $ C$ i $ R^2.$ To ipak ne znači da su to isti skupovi. U $ C$ imamo operacije zbrajanja i množenja tj. znamo računati, a u $ R^2$ nemamo nikakve operacije. Elemente iz $ R^2$ možemo crtati kao točke u ravnini. Obostrano jednoznačno pridruživanje između $ R^2$ i $ C$ omogućava da se i kompleksni brojevi crtaju u ravnini kao točke. Razlika između ravnine u kojoj se crtaju uređeni parovi realnih brojeva i ravnine u kojoj se crtaju kompleksni brojevi je u tome što u ovoj potonjoj točke možemo zbrajati i množiti, pa zato ova druga ima posebno ime. Ona se zove Gaussova ravnina ili kompleksna ravnina.

Zbrajanje i odbijanje točaka u Gaussovoj ravnini se vrši po pravilu paralelograma kao na slici.

Trigonometrijski oblik

Neka je % latex2html id marker 46383
$ z\in C\setminus \{0\}.$ Broju $ z=a+b\,i$ pripada u kompleksnoj ravnini točka $ T\neq O.$ Toj točki pripada u polarnom koordinatnom sustavu uređen par brojeva $ (r,\varphi).$ Pri tom je $ a=r\cos \varphi,
b=r\sin \varphi,$ a $ r=\sqrt{a^2+b^2}=\vert z\vert.$ Tako je

$\displaystyle z=a+b\,i=\vert z\vert\cos \varphi+i\,\vert z\vert\sin \varphi=
\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi).$

Zapis

% latex2html id marker 46397
$\displaystyle \fbox{$z=\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)$}$

se zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Broj $ \varphi$ se zove argument broja $ z.$ Broju $ z$ je pridruženo beskonačno mnogo vrijednosti argumenta, $ \varphi,\varphi+2\pi,\varphi-2\pi,\varphi+4\pi,\varphi-4\pi,
\ldots .$ Vrijednost koja se nalazi u $ [0,2\pi\rangle$ se zove glavna vrijednost argumenta.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je pogodan za operacije množenja, dijeljenja, potenciranja i korjenovanja kompleksnih brojeva.

Množenje

Neka su $ z_1=\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1),
z_2=\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)$ dva kompleksna broja.

$\displaystyle z_1z_2=\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1)
\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)=$

$\displaystyle \vert z_1\vert\vert z_2\vert(\cos \varphi_1\cos \varphi_2-\sin \v...
...sin \varphi_2+
i\,(\cos \varphi_1\sin \varphi_2+\sin \varphi_1\cos \varphi_2)).$

Dakle

% latex2html id marker 46416
$\displaystyle \fbox{$z_1z_2=
\vert z_1\vert\vert z_2\vert(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+i\,\sin (\varphi_1+\varphi_2))$.}$

Primjer 8.1   Što znači pomnožiti kompleksni broj $ z$ s $ i$?

Rješenje. Trigonometrijski oblik imaginarne jedinice je

$\displaystyle i=\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2},$

pa je tako

$\displaystyle z\,i=\vert z\vert(\cos(\varphi+\frac{\pi}{2})+i\,\sin(\varphi+\frac{\pi}{2})),$

što je kompleksni broj istog modula, dakle na središnjoj kružnici radiusa $ \vert z\vert$ kao i $ z,$ a argumenta za $ \frac{\pi}{2}$ većeg nego $ z.$ To znači da se množenje s $ i$ u Gaussovoj ravnini provodi rotiranjem za kut $ \frac{\pi}{2}$ oko ishodišta u smjeru protivnom kazaljci na satu.

Dijeljenje

$\displaystyle \frac{z_1}{z_2}=
\frac{\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1)}
{\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)}=$

$\displaystyle \frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}\cdot\frac{\cos \varphi_1+i\...
...dot
\frac{\cos \varphi_2-i\,\sin \varphi_2}
{\cos \varphi_2-i\,\sin \varphi_2}=$

$\displaystyle \frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}\cdot
\frac{\cos \varphi_1\c...
...s \varphi_2-\cos \varphi_1\sin \varphi_2)}
{\cos \varphi_2^2+\sin \varphi_2^2}.$

Dakle

% latex2html id marker 46446
$\displaystyle \fbox{$\frac{z_1}{z_2}=\frac{\vert z...
...}{\vert z_2\vert}
(\cos (\varphi_1-\varphi_2)+i\,\sin (\varphi_1-\varphi_2))$.}$

Specijalno, ako je $ z_2=i,$ onda je

$\displaystyle \frac{z_1}{i}=
\vert z_1\vert(\cos (\varphi_1-\frac{\pi}{2})+i\,\sin (\varphi_1-\frac{\pi}{2})),$

pa prema tome dijeljenje s $ i$ u Gaussovoj ravnini ima efekt rotacije za kut $ \frac{\pi}{2}$ oko ishodišta u smjeru kretanja kazaljke na satu.

Na temelju ovih formula možemo grafički množiti i dijeliti kompleksne brojeve u Gaussovoj ravnini.

Objašnjenje. Argument produkta jednak je zbroju argumenata, pa se kut određuje kao zbroj dva kuta, a modul produkta zadovoljava sljedeći razmjer

$\displaystyle 1:\vert z_1\vert=\vert z_2\vert:\vert z_1\vert\vert z_2\vert.$

Tako se modul određuje pomoću sličnosti trokuta.

Argument kvocijenta jednak je razlici argumenata, pa se kut određuje kao razlika dva kuta, a modul kvocijenta zadovoljava sljedeći razmjer

$\displaystyle 1:\frac{\vert z_1\vert}{\vert z_2\vert}=\vert z_2\vert:\vert z_1\vert.$

Tako se modul određuje pomoću sličnosti trokuta.

Potenciranje

Iz množenja, pomoću matematičke indukcije, slijedi

$\displaystyle z^n=\vert z\vert^n(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)^n=
\vert z\vert^n(\cos n\varphi+i\,\sin n\varphi),$

za svaki prirodni broj $ n.$

Primjer 8.2   Izračunati

$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2}\right)^n.$

Rješenje.

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2}=\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}.$

$\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2}\right)^n=
\cos\frac{n\pi}{4}+i\,\sin\frac{n\pi}{4}.$

Dakle, za $ n=8k, k\in Z$ rezultat je $ 1,$ za $ n=8k+1, k\in Z$ rezultat je $ \frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2},$ za $ n=8k+2, k\in Z$ rezultat je $ i,$ za $ n=8k+3, k\in Z$ rezultat je $ -\frac{\sqrt{2}+i\,\sqrt{2}}{2},$ za $ n=8k+4, k\in Z$ rezultat je $ -1,$ za $ n=8k+5, k\in Z$ rezultat je $ -\frac{\sqrt{2}-i\,\sqrt{2}}{2},$ za $ n=8k+6, k\in Z$ rezultat je $ -i,$ za $ n=8k+7, k\in Z$ rezultat je $ \frac{\sqrt{2}-i\,\sqrt{2}}{2}.$

Korjenovanje

$ n$-tih korijena kompleksnog broja $ z\neq 0$ ima točno $ n$ i oni su dani ovom formulom

% latex2html id marker 46511
$\displaystyle \fbox{$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\vert z\...
...rphi+2k\pi}{n}+
i\,\sin \frac{\varphi+2k\pi}{n}\right),\;\;k=0,1,\ldots ,n-1$.}$

Modul im je svima jednak i to $ \sqrt[n]{\vert z\vert},$ pa se u Gaussovoj ravnini nalaze na središnjoj kružnici s tim radiusom. Prvi korijen ima argument $ \frac{\varphi}{n},$ a sljedeći korijeni se dobivaju uvećavanjem argumenta prethodnog korijena za $ \frac{2\pi}{n}.$ To znači da su korijeni zapravo vrhovi određenog pravilnog $ n-$terokuta upisanog središnjoj kružnici radiusa $ \sqrt[n]{\vert z\vert}.$

Objašnjenje. Naći $ \sqrt[n]{z}=w$ je isto što i naći $ w\in C$ takav da je $ w^n=z.$ Neka je

$\displaystyle z=\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)=
\vert z\vert(\cos (\varphi+2k\pi)+i\,\sin (\varphi+2k\pi)),\;k\in Z.$

Pretpostavimo da je

$\displaystyle w=\vert w\vert(\cos \psi+i\,\sin \psi).$

Jednakost $ w^n=z$ prelazi u jednakost

$\displaystyle \vert w\vert^n(\cos n\psi+i\,\sin n\psi)=
\vert z\vert(\cos (\varphi+2k\pi)+i\,\sin (\varphi+2k\pi)),\;k\in Z.$

Odatle

$\displaystyle \vert w\vert=\sqrt[n]{\vert z\vert},\hspace{1cm}
\psi=\frac{\varphi+2k\pi}{n}=\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n},\;k\in Z.$

Dakle za svaki $ k\in Z$ imamo po jedan $ n-$ti korijen broja $ z.$ Međutim, među njima ima jednakih. Zbog

$\displaystyle \frac{\varphi}{n}+2(k+n)\pi=\frac{\varphi}{n}+2k\,\pi+2\pi,$

i periodičnosti trigonometrijskih funkcija, slijedi da se korijeni ponavljaju nakon svakih $ n$ cijelih brojeva.

Primjer 8.3   Nađimo $ \sqrt[3]{-1}.$

Rješenje. Modul je $ 1$, a argument je $ \pi.$ Dakle treći korijeni su

$\displaystyle \cos\frac{\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+
i\,\frac{\sqrt{3}}{2},$

$\displaystyle \cos\frac{\pi+2\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi+2\pi}{3}=
\cos\pi+i\,\sin\pi=-1,$

$\displaystyle \cos\frac{\pi+4\pi}{3}+i\,\sin\frac{\pi+4\pi}{3}=
\frac{1}{2}-i\,\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Na kraju dodajmo da je kod drugog korijena $ w_2=-w_1.$

Zaista,

$\displaystyle w_1=\sqrt[n]{\vert z\vert}\left(\cos \frac{\varphi}{n}+
i\,\sin \frac{\varphi}{n}\right),$

$\displaystyle w_2=\sqrt[n]{\vert z\vert}\left(\cos \left(\frac{\varphi}{n}+\pi\right)+
i\,\sin \left(\frac{\varphi}{n}+\pi\right)\right)=-w_1.$

To ima posljedicu da formula za rješenja kvadratne jednadžbe vrijedi i u slučaju kada su koeficijenti u jednadžbi kompleksni brojevi.

Zaista, neka je

$\displaystyle az^2+bz+c=0,$

gdje su $ a,b,c$ kompleksni brojevi. Rješenja gornje jednadžbe se dobiju ovako.

$\displaystyle az^2+bz+c=a\left(z^2+\frac{b}{a}z\right)+c=
a\left(z^2+\frac{b}{a...
...}\right)-\frac{b^2}{4a}+c=
a\left(z+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}=0.$

Odatle

$\displaystyle \left(z+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2},$

$\displaystyle z+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}},$

$\displaystyle z=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=
\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Vidimo da je formula za rješenja kvadratne jednadžbe ista, bez obzira na to da li su koeficijenti u jednadžbi realni ili kompleksni brojevi.


next up previous contents index
Next: Supremum i infimum Up: Dodaci Previous: Dodaci   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11