Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Vektorski prostor radijvektora Up: Dodaci Previous: Skup kompleksnih brojeva   Contents   Index


Supremum i infimum

Definicija 52   Neka je $ S$ neprazan skup u $ R.$ Za realan broj $ m$ kažemo da je infimum skupa $ S,$ ako vrijedi
1.
$ m$ je minoranta, tj. $ m\leqslant x,\;\forall x\in S,$
2.
za svaki $ \varepsilon >0$ postoji $ x\in S$ takav, da je $ x<m+\varepsilon.$
U tom slučaju pišemo

$\displaystyle m=\inf S.$

Za realan broj $ M$ kažemo da je supremum skupa $ S,$ ako vrijedi
1.
$ M$ je majoranta, tj. $ M\geqslant x,\;\forall x\in S,$
2.
za svaki $ \varepsilon >0$ postoji $ x\in S$ takav, da je $ x>M-\varepsilon.$
U tom slučaju pišemo

$\displaystyle M=\sup S.$

Slobodnije govoreći možemo reći da je supremum najmanja majoranta, a infimum najveća minoranta nepraznog skupa.

Osnovno svojstvo skupa realnih brojeva predstavlja sljedeća tvrdnja.

Teorem 41   Svaki neprazan, odozgo ograničen skup u $ R$ ima supremum. Svaki neprazan, odozdo ograničen skup u $ R$ ima infimum.

Primjer 8.4   Interval $ \langle a,b\rangle$ ima infimum $ a$ i supremum $ b.$

Rješenje. Doista, $ \langle a,b\rangle=\{x\in R;\;a<x<b\}.$ Odatle slijedi da je $ b$ majoranta. Za proizvoljan $ \varepsilon >0$ vrijedi

$\displaystyle b-\varepsilon<b-\frac{\varepsilon}{2}<b,$

osim toga $ b-\frac{\varepsilon}{2}\in\langle a,b\rangle,$ dakle $ b$ je supremum.

Primjer 8.5   Skup $ S=\{\frac{1}{1+x^2};\;x\in R\}$ ima infimum 0 i supremum $ 1.$

Rješenje. Za svaki $ x\in R$ očito vrijedi

$\displaystyle 0\leqslant \frac{1}{1+x^2}\leqslant 1,$

tj. 0 je minoranta, a $ 1$ je majoranta skupa $ S.$ Dokažimo najprije da je $ \inf S=0.$ Uzmimo $ \varepsilon >0$ proizvoljan. Nejednadžba

$\displaystyle 0+\varepsilon=\varepsilon\geqslant \frac{1}{1+x^2}$

ima, za $ 0<\varepsilon\leqslant 1,$ rješenja u skupu

$\displaystyle \left\langle -\infty,-\sqrt{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}}\ri...
...
\cup\left\langle \sqrt{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}},\infty\right\rangle,$

a za $ \varepsilon>1$ rješenje je bilo koji realan broj. Prema tome niti jedan $ \varepsilon >0$ nije minoranta. Slijedi da je 0 najveća minoranta, tj. infimum.

Dokažimo sada da je $ \sup S=1.$ Uzmimo $ \varepsilon >0$ proizvoljan. Nejednadžba

$\displaystyle 1-\varepsilon\leqslant \frac{1}{1+x^2}$

ima, za $ 0<\varepsilon< 1,$ rješenja u skupu

$\displaystyle \left\langle -\sqrt{\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}},
\sqrt{\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}}\right\rangle,$

a za $ \varepsilon\geqslant 1$ rješenje je bilo koji realan broj. Prema tome niti jedan broj manji od $ 1$ nije majoranta. Slijedi da je $ 1$ najveća majoranta, tj. supremum.

Ako skup $ S$ ima supremum $ M$ i on pripada skupu $ S,$ onda se broj $ M$ zove maksimum skupa $ S.$ Ako skup $ S$ ima infimum $ m$ i on pripada skupu $ S,$ onda se broj $ m$ zove minimum skupa $ S.$

Primjer 8.6   Skup $ S=[a,b\rangle$ ima minimum $ a,$ ali nema maksimum.

Rješenje. Doista, $ a=\inf S,b=\sup S.$ Pri tom $ a\in S,b\notin S.$

Ako je skup $ S$ neograničen odozgo, onda nema supremum i to se kraće zapisuje na sljedeći način

$\displaystyle \sup S=\infty.$

Ako je skup $ S$ neograničen odozdo, onda nema infimum i to se kraće zapisuje na sljedeći način

$\displaystyle \inf S=-\infty.$


next up previous contents index
Next: Vektorski prostor radijvektora Up: Dodaci Previous: Skup kompleksnih brojeva   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11