Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Ekstremi funkcija više varijabli Up: Diferencijalni račun Previous: Teorem srednje vrijednosti   Contents   Index

Subsections

Taylorov teorem srednje vrijednosti

Taylorov teorem srednje vrijednosti

Derivacije (diferencijali) višeg reda

Neka je $ \Omega$ područje u $ R^2.$ Prva derivacija funkcije $ f:\Omega\rightarrow R$ u točki $ P_0=(x_0,y_0)$ je polinom $ f'(x_0,y_0),$ prvog stupnja od dvije varijable $ h$ i $ k$ zadan formulom

$\displaystyle f'(x_0,y_0)(h,k)=\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}h+
\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}k.$

Druga derivacija funkcije $ f$ u točki $ P_0$ (drugi diferencijal) je polinom $ f''(x_0,y_0),$ drugog stupnja od dvije varijable $ h$ i $ k$ zadan formulom

$\displaystyle f''(x_0,y_0)(h,k)=\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2}\,h^2...
...}{\partial x\partial y}\,h\,k+
\frac{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2}\,k^2,$

treća derivacija (treći diferencijal) funkcije $ f$ u točki $ P_0$ je polinom $ f'''(x_0,y_0),$ trećeg stupnja od dvije varijable $ h$ i $ k$ zadan formulom

$\displaystyle f'''(x_0,y_0)(h,k)=
\frac{\partial^3 f(x_0,y_0)}{\partial x^3}\,h...
...artial x\partial y^2}\,h\,k^2+
\frac{\partial^3 f(x_0,y_0)}{\partial y^3}\,k^3,$

i t.d.

Općenito, $ n$-ta derivacija ($ n$-ti diferencijal) funkcije $ f$ u točki $ P_0$ je polinom $ n$-tog stupnja od dvije varijable $ h$ i $ k$ zadan formulom

% latex2html id marker 35876
$\displaystyle f^{(n)}(x_0,y_0)(h,k)=\sum_{p=0}^n \...
...ght )
\frac{\partial^n f(x_0,y_0)}{\partial x^{n-p}\partial
y^p}\,h^{n-p}\,k^p.$

Koristeći formulu binomnog teorema možemo derivaciju $ n$-tog reda kraće zapisati formalno ovako

$\displaystyle f^{(n)}(x_0,y_0)(h,k)=\left(h\,\frac{\partial{}}{\partial{}x} +
k\,\frac{\partial{}}{\partial{}y}\right)^nf(x_0,y_0).$

Zapis je doista formalan, jer se eksponent $ n$ pojavljuje kao eksponent kad se radi o $ h$ i $ k,$ a predstavlja red derivacije kad se odnosi na $ \frac{\partial{}}{\partial{}x}$ i $ \frac{\partial{}}{\partial{}y}.$

Pri tom treba naglasiti da je $ (h,k)$ pomak od točke $ (x_0,y_0)$ do točke $ (x_0+h,y_0+k).$ Ako stavimo $ x_0+h=x,$ $ y_0+k=y,$ onda je $ h=x-x_0,$ $ k=y-y_0.$

Primjer 1.34   Naći $ f'(1,0),$ $ f''(1,0),$ $ f'''(1,0),$ ako je

$\displaystyle f(x,y)=e^x\,\cos y.$

Rješenje. Potrebne derivacije su

$\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}={e^x}\,\cos y,\quad
\frac{\pa...
...tial y}=-e^x\,\sin y,\quad
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=e^x\,\cos y,$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x\partial y}=-e^x\,\sin y,\quad...
...al y^2}=-e^x\,\cos y,\quad
\frac{\partial^3 f(x,y)}{\partial x^3}=e^x\,\cos y,$

$\displaystyle \frac{\partial^3 f(x,y)}{\partial x^2\partial y}=-e^x\,\sin y,\qu...
...al y^2}=-e^x\,\cos y,\quad
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^3}=e^x\,\sin y,$

pa je

$\displaystyle f'(1,0)(x-1,y) = e\,(x-1),\quad f''(1,0)(x-1,y) =
e\,({(x-1)^2} - {y^2}),$

$\displaystyle f'''(1,0)(x-1,y) = e\,({(x-1)^3} - (x-1)\,{y^2}).$

Na sljedećim slikama se vide plohe, koje su grafovi ovih funkcija.
% latex2html id marker 27376
\includegraphics{m2prviseder.eps} % latex2html id marker 27378
\includegraphics{m2prviseder1.eps} % latex2html id marker 27380
\includegraphics{m2prviseder2.eps}

Teorem 12   (Taylorov, srednje vrijednosti) Neka je $ \Omega$ područje u $ R^2,$ i neka je $ f:\Omega\rightarrow R$ funkcija klase $ C^{n+1}(\Omega).$ Neka su $ A=(x_0,y_0)$ i $ B=(x,y)$ točke u $ \Omega$ takve, da spojnica $ \overline{AB}$ leži u $ \Omega.$ Tada postoji točka $ C=(x_0+t(x-x_0),y_0+t(y-y_0)),\;\;0\leqslant t\leqslant 1,$ na spojnici $ \overline{AB}$ takva, da je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 35951
\begin{split}f(x,y)= & f(x_0,y_...
...,f^{(n+1)}(x_0+t(x-x_0),y_0+t(y-y_0))(x-x_0,y-y_0). \end{split}\end{displaymath} (1.4)

Dokaz. $ \heartsuit$

Formula (1.4) se zove Taylorova formula. Njezina desna strana se sastoji od dva dijela. Polinom

$\displaystyle T_n= f(x_0,y_0)+ \frac{1}{1!}f'(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0)+
\frac{1}{2!}f''(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0)$

$\displaystyle +
\frac{1}{3!}f'''(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0)+ \cdots+
\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0)$

se zove Taylorov polinom $ n$-tog stupnja, a

$\displaystyle R_n=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x_0+t(x-x_0),y_0+t(y-y_0))(x-x_0,y-y_0)$

se zove $ n$-ti ostatak.

Dakle, Taylorovu formulu možemo shvatiti kao aproksimaciju funkcije $ f$ u točki $ (x_0+h,y_0+k)$ pomoću polinoma od dvije varijable $ h,
k.$ Greška te aproksimacije je $ R_n.$

Na sljedećoj slici se vidi kako Taylorovi polinomi sve bolje aproksimiraju funkciju $ f(x,y)=e^{x^2+y^2}$ u okolini točke $ (0,0).$ Polinomi $ T_1,T_3$ nisu ucrtani, jer je $ T_1=T_0,$ i $ T_3=T_2.$

\includegraphics{m2tayl.eps}

Taylorov polinom ima važno svojstvo da se njegova vrijednost i vrijednosti njegovih derivacija poklapaju s vrijednostima funkcije i odgovarajućih derivacija u točki $ (x_0,y_0).$ Radi jednostavnosti pokažimo da to vrijedi za Taylorov polinom drugog stupnja.

$\displaystyle T_2(x,y)= f(x_0,y_0)+
\frac{\partial{}f(x_0,y_0)}{\partial{}x}\,(x-x_0) +
\frac{\partial{}f(x_0,y_0)}{\partial{}y}\,(y-y_0)$

$\displaystyle +
\frac{1}{2}\, \frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial{}x^2}\,(x-x_...
...-y_0) + \frac{1}{2}\,
\frac{\partial{}^2f(x_0,y_0)}{\partial{}y^2}\,(y-y_0)^2.$

Odatle

$\displaystyle T_2(x_0,y_0) = f(x_0,y_0).$

Da ustanovimo jednakost prvih derivacija od $ f$ i $ T_2,$ u točki $ (x_0,y_0),$ dovoljno je ustanoviti da su prve parcijalne derivacije tih funkcija u točki $ (x_0,y_0)$ jednake.

$\displaystyle \frac{\partial{}T_2(x,y)}{\partial{}x} =
\frac{\partial{}f(x_0,y_...
...x^2}\,(x-x_0) +
\frac{\partial{}^2f(x_0,y_0)}{\partial{}x\partial{}y}\,(y-y_0),$

i prema tome

$\displaystyle \frac{\partial{}T_2(x_0,y_0)}{\partial{}x} =
\frac{\partial{}f(x_0,y_0)}{\partial{}x}.$

Slično

$\displaystyle \frac{\partial{}T_2(x,y)}{\partial{}y} =
\frac{\partial{}f(x_0,y_...
...y^2}\,(y-y_0) +
\frac{\partial{}^2f(x_0,y_0)}{\partial{}x\partial{}y}\,(x-x_0),$

i prema tome

$\displaystyle \frac{\partial{}T_2(x_0,y_0)}{\partial{}y} =
\frac{\partial{}f(x_0,y_0)}{\partial{}y}.$

Dakle

$\displaystyle {T_2}'(x_0,y_0) = f'(x_0,y_0).$

Za jednakost drugih derivacija od $ f$ i $ T_2$ u točki $ (x_0,y_0),$ dovoljno je ustanoviti jednakost drugih parcijalnih derivacija. Imamo

$\displaystyle \frac{\partial{}^2T_2(x,y)}{\partial{}x^2} =
\frac{\partial^2f(x_...
...rtial{}^2T_2(x,y)}{\partial{}y^2} =
\frac{\partial^2f(x_0,y_0)}{\partial{}y^2},$

i prema tome

$\displaystyle \frac{\partial{}^2T_2(x_0,y_0)}{\partial{}x^2} =
\frac{\partial{}...
...}^2T_2(x_0,y_0)}{\partial{}y^2} =
\frac{\partial{}^2f(x_0,y_0)}{\partial{}y^2}.$

Primjer 1.35   Naći Taylorovu formulu funkcije $ f(x,y)=\frac{1}{1+x+y}$ u točki $ (0,0)$ za $ n=3.$

Rješenje.

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{(1+x+y)^2}=
\frac{\partia...
...quad
\frac{\partial f(0,0)}{\partial x}=\frac{\partial f(0,0)}{\partial y}=-1,$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\...
...tial^2 f(0,0)}{\partial y\partial x}=
\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y^2}=2,$

$\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}=
\frac{\partial^3 f}{\partial x...
...3 f}{\partial x\partial y^2}=
\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}=-6(1+x+y)^{-4}.$

Tako imamo

$\displaystyle f(x,y)=1+\frac{1}{1!}\,(-x-y)+\frac{1}{2!}\,(2x^2+4xy+2y^2)+
\frac{1}{3!}(-6(1+tx+ty)^{-4}(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3))=$

$\displaystyle 1-x-y+x^2+2xy+y^2-\frac{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{(1+tx+ty)^{4}},\;0<t<1.$

Taylorovi i McLaurinovi redovi

Neka je $ f$ klase $ C^{\infty}(\Omega).$ U tom slučaju imamo Taylorovu formulu za bilo koji $ n.$ Ako je pri tom još

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}
\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(x_0+t(x-x_0),y_0+t(y-y_0))(x-x_0,y-y_0)=0,$

za neki $ (x,y)$ onda Taylorova formula (1.4) prelazi u formulu

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 36052
\begin{split}f(x,y)= & f(x_0,y_...
...\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0,y_0)(x-x_0,y-y_0)+\cdots\ . \end{split}\end{displaymath} (1.5)

Red na desnoj strani formule 1.5 se zove Taylorov red. Ako je $ x_0=0, y_0=0,$ onda imamo McLaurinov red

$\displaystyle f(0,0)+\frac{1}{1!}f'(0,0)(x,y)+\frac{1}{2!}f''(0,0)(x,y)+
\frac{1}{3!}f'''(0,0)(x,y)+\cdots \frac{1}{n!}f^{(n)}(0,0)(x,y)+\cdots
.$

Formula (1.5) izražava dvije činjenice: da red na desnoj strani konvergira u točki $ (x,y),$ i da je njegova suma jednaka vrijednosti funkcije u točki $ (x,y).$ Skup onih $ (x,y)$ za koje Taylorov red konvergira, općenito nije jednak domeni funkcije. To se dobro vidi na sljedećem primjeru.

Primjer 1.36   Naći Taylorov red funkcije $ f(x,y)=\frac{1}{1+x+y}$ u točki $ (1,0).$

Rješenje. Domena funkcije je

% latex2html id marker 36069
$\displaystyle R^2\setminus{}\{(x,y);\;y=-x-1\}.$

Dakle

Figure 1.13: a) Domena funkcije. b) Područje konvergencije Taylorovog reda funkcije.
% latex2html id marker 27412
\includegraphics{m2prtaylred.eps}     % latex2html id marker 27414
\includegraphics{m2prtaylreda.eps}

Umjesto da se računa $ n$-ta derivacija, što je često mukotrpno, možemo koristiti geometrijski red

$\displaystyle \frac{1}{1-u}=1+u+u^2+u^3+\cdots+u^n+\cdots.$

Pri tom ova jednakost vrijedi samo za $ \vert u\vert<1.$

U našem slučaju

$\displaystyle \frac{1}{1+x+y}=\frac{1}{2+(x-1)+y}=
\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-(\underbrace{-\frac{x-1}{2}-\frac{y}{2}}_{u})}=$

$\displaystyle \frac{1}{2}\,\left(1+ \left(-\frac{x-1}{2}- \frac{y}{2}\right)+
\...
...-\frac{y}{2}\right)^2+
\left(-\frac{x-1}{2}-\frac{y}{2}\right)^3+\cdots\right)=$

$\displaystyle \frac{1}{2}\,\left(1- \frac{x-1}{2}- \frac{y}{2}+ \frac{(x-1)^2}{4}+
\frac{(x-1)y}{2}+ \frac{y^2}{4}\right.
$

$\displaystyle \left.-\frac{(x-1)^3}{8}-\frac{3(x-1)^2y}{8}-\frac{3(x-1)y^2}{8}-
\frac{y^3}{8}+\cdots\right).$

Pri tom red konvergira i to k vrijednosti funkcije za one $ (x,y)$ za koje je

$\displaystyle \left\vert\frac{x-1}{2}+\frac{y}{2}\right\vert < 1,$

tj.

$\displaystyle -1 < \frac{x-1}{2}+\frac{y}{2} < 1,$

što se svodi na

$\displaystyle -x - 1 < y < -x + 3,$

odnosno na slici

Primjer 1.37   Naći McLaurinov red funkcije % latex2html id marker 36099
$ f(x,y)={\rm Arctg}\,\,xy.$

Rješenje. Također možemo izbjeći deriviranje na sljedeći način

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y}{1+x^2y^2}=
y(1-x^2y^2+x^4y^4-x^6y^6+\cdots)=$

$\displaystyle y-x^2y^3+x^4y^5-x^6y^7+\cdots .$

% latex2html id marker 36105
$\displaystyle {\rm Arctg}\,\,xy=\int \frac{\partia...
...ial x}\,dx=
C(y)+xy-\frac{x^3y^3}{3}+\frac{x^5y^5}{5}-\frac{x^7y^7}{7}+\cdots .$

Stavimo $ x=0.$ Dobivamo $ C(y)=0;$ dakle

% latex2html id marker 36111
$\displaystyle {\rm Arctg}\,\,xy=
xy-\frac{x^3y^3}{3}+\frac{x^5y^5}{5}-\frac{x^7y^7}{7}+\cdots .$

Pitanja

1.
Definirajte derivacije višeg reda funkcije u točki.
2.
Kako se one formalno mogu kraće zapisati?
3.
Kako glasi Taylorov teorem srednje vrijednosti?
4.
Napišite Taylorov polinom $ n$-tog reda funkcije $ f$ u točki $ (x_0,y_0).$
5.
U kom smislu Taylorov polinom aproksimira funkciju?
6.
Koje važno svojstvo ima Taylorov polinom?
7.
Što je Taylorov, a što McLaurinov red funkcije $ f$?
8.
Što se može reći o jednakosti funkcije i njezinog Taylorovog reda?

Riješeni zadaci

1.
Naći prvu derivaciju funkcije $ f(x,y)=x^n\varphi
(\frac{y}{x})+x^{n-1}\psi (\frac{y}{x}),$ pod pretpostavkom da su funkcije $ \varphi$ i $ \psi$ neprekidno derivabilne.

Rješenje. Prve parcijalne derivacije su

$\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = {x^{n-3}}\,\left( n\,{x^2}\,...
...phi'\left({\frac{y}{x}}\right) +
\psi'\left({\frac{y}{x}}\right)\right)\right),$

$\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = {x^{n-2}}\,\left( x\,
\varphi'\left({\frac{y}{x}}\right) + \psi'\left({\frac{y}{x}}\right)
\right),$

pa je

$\displaystyle f'(x,y)(h,k) = k\,{x^{n-2}}\,\left(
x\,\varphi'\left({\frac{y}{x}}\right) +
\psi'\left({\frac{y}{x}}\right) \right)$

$\displaystyle + h\,{x^{n-3}}\,\left(
n\,{x^2}\, \varphi\left({\frac{y}{x}}\righ...
...phi'\left({\frac{y}{x}}\right) +
\psi'\left({\frac{y}{x}}\right)\right)\right).$

2.
Naći Taylorov polinom trećeg stupnja funkcije

$\displaystyle f(x,y)=\ln \frac{1-x-y+xy}{1-x-y}$

u okolini točke $ (0,0).$

Rješenje. Potrebne derivacije su

$\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = {\frac{y}{\left(x-1\right)\,...
...tial f(x,y)}{\partial y} = {\frac{x}{\left(y-1\right) \,
\left(x+y-1\right) }},$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} = -{\frac{y\,\left( 2\,x+y...
...frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x} = {{\left(x+y-1\right)
}^{-2}},$

$\displaystyle \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} = -{\frac{x\,\left(x + 2\,...
...,y + {y^2} \right) }{{{\left(
-1 + x \right) }^3}\,{{\left(x+y-1\right) }^3}}},$

$\displaystyle \frac{\partial^3 f(x,y)}{\partial x^2 \partial y} = {\frac{-2}
{{...
...l^3 f(x,y)}{\partial x \partial y^2} = {\frac{-2}
{{{\left(x+y-1\right) }^3}}},$

$\displaystyle \frac{\partial^3 f(x,y)}{\partial y^3} = {\frac{2\,x\,\left( {x^2...
...-1\right) }^2}
\right) }{{{\left(y-1\right) }^3}\,
{{\left(x+y-1\right) }^3}}}.$

Tako je

$\displaystyle \frac{\partial f(0,0)}{\partial x} = 0,\quad
\frac{\partial f(0,...
...}{\partial y \partial x} = 1,\quad
\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial y^2} = 0,$

$\displaystyle \frac{\partial^3 f(0,0)}{\partial x^3} = 0,\quad
\frac{\partial^...
...\partial x \partial y^2} = 2,\quad
\frac{\partial^3 f(0,0)}{\partial y^3} = 0.$

Prema tome, Taylorov polinom je

$\displaystyle T_3(x,y) = x\,y + x^2\,y + x\,y^2.$

3.
Naći McLaurinov red funkcije $ f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}.$

Rješenje. Uvedemo li novu varijablu $ u=x^2+y^2,$ imamo

$\displaystyle f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-u} = g(u).$

Prema razvoju u binomni red slijedi

$\displaystyle g(u) = 1 - \binom{\frac{1}{2}}{1}\,u + \binom{\frac{1}{2}}{2}\,u^...
...ac{1}{2}}{3}\,u^3 + \cdots{} +
(-1)^{n}\,\binom{\frac{1}{2}}{n}\,u^n + \cdots{}$

$\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty
(-1)^{n}\,\binom{\frac{1}{2}}{n}\,u^n.$

Odatle

$\displaystyle f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2} = \sum_{n=1}^\infty
(-1)^{n}\,\binom{\frac{1}{2}}{n}\,\left(x^2 + y^2\right)^n.$


next up previous contents index
Next: Ekstremi funkcija više varijabli Up: Diferencijalni račun Previous: Teorem srednje vrijednosti   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11