Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Bibliography Up: Dodaci Previous: Deriviranje integrala po gornjoj   Contents   Index

Integracija supstitucijom

Sljedeća metoda koja olakšava traženje primitivne funkcije je metoda supstitucije. Ona se temelji na sljedećem teoremu.

Teorem 44   Neka je $ f:[a,b]\rightarrow R$ neprekidna funkcija na $ [a,b],$ i neka je $ \varphi(x):J\rightarrow R$ strogo monotona funkcija klase $ C^1(J)$ takva, da je $ a=\varphi(\alpha), b=\varphi(\beta).$ Tada je

% latex2html id marker 46914
$\displaystyle \fbox{$\int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$}$

Dokaz. $ \heartsuit$


Ovaj teorem vrijedi i ako $ \varphi$ nije strogo monotona, već samo po dijelovima strogo monotona, tj. ako se $ J$ može podijeliti na konačno mnogo segmenata takvih, da je na svakom od njih $ \varphi$ strogo monotona.

Primjeri. 1.

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 46924
\int \frac{x\,dx}{1+x^4}
=\left...
...dx=dt
\end{array}\right\vert=
\frac{1}{2}\int \frac{dt}{1+t^2}=\end{displaymath}

% latex2html id marker 46926
$\displaystyle \frac{1}{2}{\rm Arctg}\,t+C=\frac{1}{2}{\rm Arctg}\,x^2+C.$

2.

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 46928
\int \frac{dx}{x\ln^2x}
=\left\...
...ac{xdt}{xt^2}=\int \frac{dt}{t^2}=-t^{-1}+C=-\frac{1}{\ln x}+C.\end{displaymath}

3.

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 46930
\int \sqrt{x^2+4}\,dx
=\left\ve...
...nd{array}\right\vert=4\int \sqrt{{\rm sh}^2t+1}{\rm ch}\,t\,dt=\end{displaymath}

% latex2html id marker 46932
$\displaystyle 4\int {\rm ch}^2t\,dt=4\int (\frac{1}{2}+\frac{{\rm ch}\,2t}{2})\,dt=$

% latex2html id marker 46934
$\displaystyle 2t+{\rm sh}\,t+C=2{\rm Arsh}\,\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+C.$

Ako je funkcija parametarski zadana

$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x(t)$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y(t), \hspace{2cm} t\in [t_1,t_2 ],$  

onda je $ f(x)=y(t),$ $ dx=x'(t)\,dt,$ pa je

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_{t_1}^{t_2} y(t)x'(t)\,dt.$

Primjer 8.7   Izračunajmo površinu kruga radiusa $ r.$

Rješenje. Parametarske jednadžbe kružnice su

$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\cos t$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r\sin t, \hspace{2cm} t\in [0,2\pi ],$  

pa je površina kruga

$\displaystyle P=2\int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}\,dx=2\int_{\pi}^0 r\sin t(-r\sin t)\,dt=$

$\displaystyle -2r^2\int_{\pi}^0 \sin^2t\,dt=
-2r^2\int_{\pi}^0 (\frac{1}{2}-\frac{\cos 2t}{2})\,dt=$

$\displaystyle -2r^2\left[\frac{1}{2}t-\frac{\sin 2t}{4}\right]_{\pi}^0=r^2\pi.$

Ako je dana krivulja u polarnom koordinatnom sustavu u ravnini jednadžbom

$\displaystyle r=r(\varphi),$

onda je površina sektora između dva kuta

$\displaystyle P=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2(\varphi)\,d\varphi.$

Primjer 8.8   Naći površinu četverolisne djeteline, zadane formulom

$\displaystyle r=a\sin 2\varphi.$

Rješenje.

$\displaystyle P=2\int_0^{\pi/2} a^2\sin^22\varphi\,d\varphi=
2a^2\int_0^{\pi/2} (\frac{1}{2}-\frac{\cos 4\varphi}{2})\,d\varphi=$

$\displaystyle 2a^2\left[\frac{1}{2}\varphi-\frac{\sin 4\varphi}{8}\right]_0^{\pi/2}=
\frac{a^2\pi}{2}.$


next up previous contents index
Next: Bibliography Up: Dodaci Previous: Deriviranje integrala po gornjoj   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11