Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Integracija supstitucijom Up: Dodaci Previous: Monotonost i derivacija   Contents   Index


Deriviranje integrala po gornjoj granici

Neka je $ f:I\rightarrow R,$ gdje je $ I$ interval u $ R,$ integrabilna funkcija na $ [a,b].$ Neka je $ a\in I.$ Za bilo koji $ x\in I,$ integral funkcije $ f$ od $ a$ do $ x$ je broj koji ovisi o $ x.$ Tako imamo funkciju

$\displaystyle F(x) = \int_a^x f(t)\,dt.$

Funkcija $ F$ je primitivna funkcija od $ f.$ Doista,

$\displaystyle \lim_{\Delta{}x\rightarrow{}0} \frac{F(x+\Delta{}x)-F(x)}{\Delta{...
...} \frac{1}{\Delta x}\left[\int_a^{x+\Delta x}
f(t)\,dt-\int_a^x f(t)\,dt\right]$

$\displaystyle = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}
\frac{1}{\Delta x}\left[\int_a^{x...
...t)\,dt = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta x}
f(c_x)\Delta x = f(x).$

U predzadnjoj jednakosti smo upotrebili integralni teorem srednje vrijednosti.

Prema tome funkcija $ F$ ima derivaciju, i vrijedi

$\displaystyle F'(x) = f(x),$

pa možemo zaključiti da derivacija integrala neprekidne funkcije po gornjoj granici postoji i da je jednaka vrijednosti podintegralne funkcije u gornjoj granici.

Da je bilo

$\displaystyle G(x) = \int_x^a f(t)\,dt,$

onda bismo imali

$\displaystyle G(x) = -\int_a^x f(t)\,dt,$

pa bi bilo

$\displaystyle G'(x) = -f(x).$

Možemo zaključiti da je derivacija integrala neprekidne funkcije po donjoj granici jednaka negativnoj vrijednosti podintegralne funkcije u donjoj granici.



Salih Suljagic
2000-03-11