Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Deriviranje integrala po gornjoj Up: Dodaci Previous: Vektorski prostor radijvektora   Contents   Index

Monotonost i derivacija

Teorem 42   Neka je funkcija $ f:I\rightarrow R$ derivabilna na $ I.$ Tada vrijedi sljedeće.
1.
Ako funkcija raste na $ I,$ onda je $ f'(x)\geq 0.$ Obratno, ako je $ f'(x)\geq 0,$ onda funkcija raste.
2.
Ako funkcija pada na $ I,$ onda je $ f'(x)\leq 0.$ Obratno, ako je $ f'(x)\leq 0,$ onda funkcija pada.

Dokaz. Dokažimo prvu tvrdnju.

1. Neka $ f$ raste na $ I.$ Pretpostavimo, suprotno tvrdnji, da je $ f'(c)<0$ za neki $ c\in I.$ To znači da za neki $ \delta >0$ vrijedi

$\displaystyle (0<\vert x-c\vert<\delta)\Rightarrow(\frac{f(x)-f(c)}{x-c}<0),$

tj.

$\displaystyle (c-\delta<x<c)\Rightarrow(f(x)>f(c)),$

što proturječi pretpostavci da $ f$ raste. Dakle, ako $ f$ raste na $ I,$ onda je $ f'(x)\geq 0$ za svaki $ x\in I.$

2. Obratno, neka je $ f'(x)\geq 0$ za svaki $ x\in I.$ Neka su $ x_1,x_2\in I$ proizvoljni, i neka je $ x_1<x_2.$ Tada po Lagrangeovom teoremu

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(t)(x_2-x_1),$

s time da je $ x_1<t<x_2.$ Zbog $ f'(t)\geq 0,$ i $ x_2-x_1>0$ slijedi

$\displaystyle f(x_2)\geq f(x_1),$

što znači da funkcija $ f$ raste. $ \heartsuit$

Dapače, iz drugog dijela dokaza slijedi

Teorem 43  
1.
Ako je $ f'(x)>0$ za svaki $ x\in I,$ onda funkcija $ f$ strogo raste na intervalu I
2.
Ako je $ f'(x)<0$ za svaki $ x\in I,$ onda funkcija $ f$ strogo pada na intervalu I

Obratna implikacija ne vrijedi. Funkcija $ f(x)=x^3$ strogo raste, no njezina prva derivacija $ f'(x)=3x^2$ je u $ x=0$ jednaka nuli.


next up previous contents index
Next: Deriviranje integrala po gornjoj Up: Dodaci Previous: Vektorski prostor radijvektora   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11