Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Elementarne funkcije Up: Funkcije kompleksne varijable Previous: Funkcije kompleksne varijable   Contents   Index

Subsections

Pojam funkcije kompleksne varijable

Kompleksni brojevi

Skup7.1

$\displaystyle C=\{a+b\,i;\;a,b\in R\},$

gdje je $ i$ broj koji ima svojstvo

$\displaystyle i^2=-1,$

se zove skup kompleksnih brojeva. Ako je

$\displaystyle z=a+b\,i,$

onda imamo sljedeće oznake. $ a$ je realan dio kompleksnog broja $ z$ i piše se % latex2html id marker 44161
$ a={\rm Re}\,z,$ $ b$ je imaginaran dio kompleksnog broja $ z$ i piše se $ b=$Im$ \,z,$ $ i$ je imaginarna jedinica.

Broj

$\displaystyle \overline{z}=a-b\,i$

se zove kompleksno konjugiran broju $ z.$

Operacije s kompleksnim brojevima

Neka je $ z=a+b\,i, w=c+d\,i.$

$\displaystyle z+w=(a+b\,i)+(c+d\,i)=(a+c)+(b+d)i,$

$\displaystyle zw=(a+b\,i)(c+d\,i)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Modul kompleksnog broja je realan broj

$\displaystyle \vert z\vert=\vert a+b\,i\vert=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$

Vrijedi

$\displaystyle \vert z+w\vert\leq \vert z\vert+\vert w\vert,\qquad \vert zw\vert=\vert z\vert\vert w\vert.$

Gaussova ravnina

Svaki kompleksni broj je potpuno zadan s dva realna broja, i pri tom je važno koji je prvi (realni dio) a koji drugi (imaginarni dio). Obratno, svakom uređenom paru realnih brojeva $ (a,b)$ možemo pridružiti kompleksni broj $ z=a+b\,i.$ Tako je dano obostrano jednoznačno pridruživanje između skupova $ C$ i $ R^2.$ To ipak ne znači da su to isti skupovi. U $ C$ imamo operacije zbrajanja i množenja tj. znamo računati, a u $ R^2$ nemamo nikakve operacije. Elemente iz $ R^2$ možemo crtati kao točke u ravnini. Obostrano jednoznačno pridruživanje između $ R^2$ i $ C$ omogućava da se i kompleksni brojevi crtaju u ravnini kao točke. Razlika između ravnine u kojoj se crtaju uređeni parovi realnih brojeva i ravnine u kojoj se crtaju kompleksni brojevi je u tome što u ovoj potonjoj točke možemo zbrajati i množiti, pa zato ova druga ima posebno ime. Ona se zove Gaussova ravnina ili kompleksna ravnina.

Zbrajanje i odbijanje točaka u Gaussovoj ravnini se vrši po pravilu paralelograma kao na slici.

\includegraphics{m2komploper.eps}

Trigonometrijski oblik

Neka je % latex2html id marker 44208
$ z\in C\setminus \{0\}.$ Zapis

$\displaystyle z=\vert z\vert(\cos \varphi+i\,\sin \varphi)$

se zove trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Broj $ \varphi$ se zove argument broja $ z,$ i piše se $ \arg z.$ Broju $ z$ je pridruženo beskonačno mnogo vrijednosti argumenta, $ \varphi,\varphi+2\pi,\varphi-2\pi,\varphi+4\pi,\varphi-4\pi,
\ldots .$ Vrijednost koja se nalazi u $ [0,2\pi\rangle$ se zove glavna vrijednost argumenta, i piše se % latex2html id marker 44224
$ {\rm Arg\,}z.$
\includegraphics{m2kompltrig.eps}

Množenje

Neka su $ z_1=\vert z_1\vert(\cos \varphi_1+i\,\sin \varphi_1),
z_2=\vert z_2\vert(\cos \varphi_2+i\,\sin \varphi_2)$ dva kompleksna broja.

$\displaystyle z_1z_2=
\vert z_1\vert\vert z_2\vert(\cos (\varphi_1+\varphi_2)+i\,\sin (\varphi_1+\varphi_2)).$

Pojam funkcije kompleksne varijable

Otvoren povezan skup u kompleksnoj (Gaussovoj) ravnini zovemo područjem.

Neka je $ D$ područje i neka je zadana funkcija $ f:D\rightarrow C.$ Kompleksni broj $ f(z)$ možemo napisati u obliku

$\displaystyle f(z)=$Re$\displaystyle \,f(z)+i\,$Im$\displaystyle \,f(z).$

Brojevi Re$ \,f(z)$ i Im$ \,f(z)$ su realni, i ovise o $ z=x+i\,y,$ tj. ovise o uređenom paru realnih brojeva $ (x,y).$

Tako zapravo možemo pisati

$\displaystyle f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),$

gdje su $ u$ i $ v$ realne funkcije od dvije realne varijable, definirane na području u $ R^2,$ koje se skupovno poklapa s $ D.$ Zato i pišemo $ u:D\rightarrow R,$ $ v:D\rightarrow R.$

Problem crtanja grafa funkcije kompleksne varijable se sastoji u tome što se uređeni par $ (z,f(z))$ kompleksnih brojeva može identificirati s uređenom četvorkom realnih brojeva $ (x,y,u(x,y),v(x,y)).$ Uređenu četvorku realnih brojeva nije moguće nacrtati u ravnini, pa zato funkcije kompleksne varijable prikazujemo u dvije kompleksne ravnine, i to u $ z$-ravnini prikazujemo elemente domene funkcije, a u $ w$-ravnini prikazujemo slike funkcije.

Primjer 7.1   Neka je na primjer $ f(z)=(1+i)\,z+(-2+3\,i).$ Na sljedećoj slici se vidi kako $ f$ preslikava nekoliko točaka i to $ z_1=3+i,z_2=2-i,z_3=5.$
% latex2html id marker 29746
\includegraphics{m2komplpreslpr.eps}

Primjer 7.2   Funkcija $ f(z)=a\,z+b,$ gdje su $ a,b\in C, a\neq 0.$

Neka je $ a=a_1+i\,a_2, b=b_1+i\,b_2, z=x+i\,y.$ Tada je

$\displaystyle f(z)= a_1\,x-a_2\,y+b_1+i\,(a_2\,x+a_1\,y+b_2).$

Tako je

$\displaystyle u(x,y)= a_1\,x-a_2\,y+b_1\hspace{1cm}v(x,y)=a_2\,x+a_1\,y+b_2.$

Djelovanje ove funkcije u $ w$-ravnini se bolje može opisati ako se poslužimo trigonometrijskim zapisom.

$\displaystyle a=\vert a\vert(\cos\phi+i\,\sin\phi),\hspace{1cm}z=\vert z\vert(\cos\theta+i\,\sin\theta).$

$\displaystyle f(z)= \vert a\vert\,\vert z\vert\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta))+b.$

To pokazuje da se ovdje radi o rotaciji oko ishodišta za kut $ \phi ,$ zatim stezanju ( $ 0<\vert a\vert\leqslant 1$) ili rastezanju ( $ \vert a\vert\geqslant 1$), i konačno translaciji za vektor kojem je početak u ishodištu, a vrh u $ b$ (v. sl. 7.1).

Figure 7.1: a: početno područje $ D,$ b: $ D\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta))$ tj. rotacija za kut $ \phi ,$ c: $ \vert a\vert\,D\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta)),$ tj. rastezanje (stezanje) $ \vert a\vert$ puta d: $ \vert a\vert\,D\,(\cos(\phi+\theta)+i\,\sin(\phi+\theta))+b,$ tj. translacija za $ b.$
% latex2html id marker 29752
\includegraphics{m2komplafipresl.eps}

Potpuniju informaciju o tome kako $ f$ preslikava točke iz $ z$-ravnine u točke iz $ w$-ravnine dobivamo, ako uočimo u što se preslikavaju koordinatne linije u $ z$-ravnini. Tako za $ f$ iz primjera 7.1 imamo

$\displaystyle x = c \quad \Rightarrow \quad v = 1 + 2\,c - u,$

$\displaystyle y = c \quad \Rightarrow \quad v = 5 + 2\,c + u,$

što se vidi na slici 7.2.

Figure 7.2: Afino preslikavanje koordinatnih linija.
\includegraphics{m2komplafin1.eps}

Primjer 7.3   Funkcija $ f(z)=z^2.$

$\displaystyle (x+i\,y)^2=x^2+2xy\,i-y^2,$

pa je

$\displaystyle u(x,y)=x^2-y^2,\hspace{1cm}v(x,y)=2\,x\,y,$

$\displaystyle x = c \quad \Rightarrow \quad {v^2} = 4\,{c^4} - 4\,{c^2}\,u,$

$\displaystyle y = c \quad \Rightarrow \quad {v^2} = 4\,{c^2}\,\left( {c^2} + u \right),$

\includegraphics{m2komplkvadr.eps}

Ako nas, naprotiv, interesira koje to krivulje u $ z$-ravnini prelaze u koordinatne linije u $ w$-ravnini, onda treba staviti

$\displaystyle u = x^2 - y^2 = c,\qquad v = 2\,x\,y = c,$

pa tada imamo ove slike
\includegraphics{m2komplinvkvadr1.eps}

S druge strane

% latex2html id marker 44375
$\displaystyle f(\vert z\vert\,e^{i\,{\rm Arg\,}z})=\vert z\vert^2\,e^{i\,2{\rm Arg\,}z}.$

Kada % latex2html id marker 44377
$ {\rm Arg\,}z$ ide od 0 do $ \pi,$ % latex2html id marker 44382
$ 2{\rm Arg\,}$ prijeđe vrijednosti od 0 do $ 2\pi.$ Osim toga, kada $ \vert z\vert$ ide od 0 do $ \infty,$ $ \vert z\vert^2$ također ide od 0 do $ \infty.$ Tako se vidi da funkcija preslikava gornju $ z$-poluravninu na cijelu $ w$-ravninu. Na isti način možemo zaključiti da donju poluravninu također preslikava na cijelu ravninu. Pritom lijepi točke % latex2html id marker 44401
$ \vert z\vert\,e^{i\,{\rm Arg\,}z}$ i % latex2html id marker 44403
$ \vert z\vert\,e^{i\,({\rm Arg\,}
z+\pi)}.$

Pitanja

1.
Kakvu funkciju zovemo funkcijom kompleksne varijable?
2.
Što predstavljaju realni i imaginarni dio funkcije kompleksne varijable?
3.
Kako grafički prikazujemo djelovanje funkcije kompleksne varijable? Objasnite na primjeru.

Riješeni zadaci

1.
Riješiti jednadžbu $ z^3=\overline{z}.$

Rješenje. Jedno rješenje je očito $ z_1=0.$ Da nađemo ostala rješenja, pomnožimo jednadžbu sa $ z.$ imamo $ z^4=\vert z\vert^2,$ tj.

$\displaystyle \vert z\vert^4(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi)=\vert z\vert^2,$

$\displaystyle \vert z\vert^2(\cos 4\varphi+i\sin 4\varphi)=1.$

Odavde slijedi $ \vert z\vert=1$ i $ 4\varphi=2k\pi,\;\;k\in Z,$ tj. $ \varphi=k\frac{\pi}{2},\;\;k\in Z.$ Dakle $ z_2=1,z_3=i,z_4=-1,z_5=-i.$

Zadatak se mogao riješiti i tako da se uvrsti $ z=x+iy,\overline{z}=
x-iy,$ i izjednače realni i imaginarni dijelovi u jednadžbi. Time bi se dobio sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice $ x\,y.$

2.
Neka je $ \varphi\neq 2k\pi,\;\;k\in Z.$ Izračunati

(a) $ \displaystyle\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi=
\frac{\textstyle{\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi}{2}}}
{\sin\frac{\varphi}{2}},$
(b) $ \displaystyle\frac{1}{2}+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\cdots+\cos n\varphi=
\frac{\textstyle{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)\varphi}}
{2\sin\frac{\varphi}{2}}.$

Rješenje. Budući da je $ (\cos\varphi+i\sin\varphi)^k=
\cos k\varphi+i\sin k\varphi,$ trebamo izračunati

$\displaystyle \sum_{k=0}^n (\cos\varphi+i\sin\varphi)^k=
\sum_{k=0}^n (\cos k\varphi+i\sin k\varphi)=$

$\displaystyle (1+\cos\varphi+\cos 2\varphi+\cdots+\cos n\varphi)+
i(\sin\varphi+\sin 2\varphi+\cdots+\sin n\varphi).$

$\displaystyle \sum_{k=0}^n (\cos\varphi+i\sin\varphi)^k=
\frac{(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n+1}-1}{(\cos\varphi+i\sin\varphi)-1}=$

$\displaystyle \frac{\cos(n+1)\varphi-1+i\sin(n+1)\varphi}{\cos\varphi-1+i\sin\varphi}\,
\cdot\,\frac{\cos\varphi-1-i\sin\varphi}{\cos\varphi-1-i\sin\varphi}.$

Nakon množenja i sređivanja, realni dio je

$\displaystyle \frac{\cos n\varphi-\cos\varphi-\cos(n+1)\varphi+1}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}},$

a imaginarni

$\displaystyle \frac{\sin n\varphi+\sin\varphi-\sin(n+1)\varphi}{4\sin^2\frac{\varphi}{2}}.$

$\displaystyle (\sin n\varphi+\sin\varphi)-\sin(n+1)\varphi=$

$\displaystyle 2\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\cos\frac{(n-1)\varphi}{2}-
2\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\cos\frac{(n+1)\varphi}{2}=$

$\displaystyle 4\sin\frac{(n+1)\varphi}{2}\sin\frac{n\varphi}{2}\sin\frac{\varphi}{2}$

Nakon kraćenja s nazivnikom dobivamo formulu (a). Slično se dobije formula (b).
3.
U što se preslika krivulja $ z(t)=e^{i\,t},\;t\in [0,2\,\pi]$ funkcijom $ w(z) = \frac{1}{2}\,\left(z+\frac{1}{z}\right)$?

Rješenje. Zadana krivulja $ z(t)$ je jedinična kružnica sa središtem u ishodištu. Kad u $ w$ uvrstimo dani $ z(t),$ dobivamo

$\displaystyle w(t) = {\frac{{e^{-i\,t}} + {e^{i\,t}}}{2}} = \cos t.$

Kako se $ t$ mijenja od 0 do $ 2\,\pi,$ slika dane kružnice postaje dvostruki segment $ [-1,1].$ Pri tom, kad $ t$ ide od 0 do $ 2\,\pi,$ točka na kružnici ide od točke $ 1$ i u pozitivnom smjeru obilazi kružnicu, dok je slika te točke upravo projekcija na realnu os.


next up previous contents index
Next: Elementarne funkcije Up: Funkcije kompleksne varijable Previous: Funkcije kompleksne varijable   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11