Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Obične diferencijalne jednadžbe Up: Plošni integrali Previous: Plošni integral 2. vrste   Contents   Index

Subsections

Primjene teorema o divergenciji

Neke važne formule

Iz teorema o divergenciji slijede još neke važne formule.

% latex2html id marker 42427
$\displaystyle \iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,dS =
\iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi\,dV,$

% latex2html id marker 42429
$\displaystyle \iint_{\Sigma} \vec{n}_0\times\vec{a}\,dS =
\iiint_{\Omega}\,{\rm rot\,}\vec{a}\,dV,$

$\displaystyle \iint_{\Sigma}\frac{\partial\varphi}{\partial\vec{n}_0}\,dS = \iiint_{\Omega}\,
\Delta\,\varphi\,dV.$

Na primjer

% latex2html id marker 42433
$\displaystyle \iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,...
...ot\vec{\imath} \,dS =
\iiint_{\Omega}\,{\rm div\,}(\varphi\,\vec{\imath}) \,dV$

% latex2html id marker 42435
$\displaystyle = \iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varp...
...vec{\imath} \,dV =
\iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi \,dV\cdot\vec{\imath}.$

Analogno

% latex2html id marker 42437
$\displaystyle \iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,...
...cdot\vec{\jmath} =
\iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi \,dV\cdot\vec{\jmath},$

% latex2html id marker 42439
$\displaystyle \iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,dS \cdot\vec{k} =
\iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi \,dV\cdot\vec{k}.$

Teorem 24   Neka je $ K(r)$ zatvorena kugla sa središtem u točki $ P$ i radiusom $ r.$ Neka je $ V(r)$ njezin volumen. Neka je $ \Sigma(r)$ sfera, koja čini rub kugle $ K(r),$ i neka je $ \vec{n}_0$ vektorsko polje vanjskih jediničnih normala na plohu $ \Sigma(r).$ Neka je $ \vec{a}$ vektorsko polje klase $ C^1$ na nekom području koje sadrži $ K(r).$

Tada vrijedi

% latex2html id marker 42464
$\displaystyle {\rm div\,}\vec{a}\,(P) = \lim_{r\searrow 0}\frac{1}{V(r)}
\iint_{\Sigma(r)}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS.$

Dokaz. Iz teorema o divergenciji slijedi

% latex2html id marker 42466
$\displaystyle \iint_{\Sigma(r)}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS =
\iiint_{K(r)} {\rm div\,}\vec{a}\,dV.$

Budući da je % latex2html id marker 42468
$ {\rm div\,}\vec{a}$ neprekidna funkcija, možemo primijeniti teorem srednje vrijednosti za integrale. Tako imamo

% latex2html id marker 42470
$\displaystyle \iint_{\Sigma(r)}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS =
{\rm div\,}\vec{a}(P')\,\iiint_{K(r)} dV = {\rm div\,}\vec{a}(P')\,V(r),$

gdje je $ P'$ neka točka iz kugle $ K(r).$ Podijelimo s $ V(r),$ i pustimo da $ r\rightarrow 0.$ Tada se kugla steže na točku $ P,$ i točka $ P'$ teži k $ P,$ pa prema tome doista vrijedi gornja formula. $ \heartsuit$

Fizikalna interpretacija divergencije.

Prilikom definiranja plošnog integrala 2. vrste razmatrali smo stacionarno protjecanje fluida. Uočimo proizvoljnu točku $ P$ u području gibanja fluida, i opišimo oko nje zatvorenu kuglu $ {\bar
K}(P;r)$ radiusa $ r.$ Tok mase fluida u jedinici vremena kroz rub kugle $ \Sigma(r)$ je

$\displaystyle \iint_{\Sigma(r)}\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS.$

Prosječna gustoća toka mase se dobije kad se ovaj broj podijeli s volumenom kugle $ V(r)$

$\displaystyle \frac{1}{V(r)}\iint_{\Sigma(r)}\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0 \,dS.$

Pravu gustoću u točki $ P$ ćemo dobiti kad uzmemo limes ovog integrala kad $ r$ teži k nuli. To je upravo učinjeno u teoremu 24. Dakle možemo zaključiti da % latex2html id marker 42507
$ {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)$ predstavlja gustoću toka mase u jedinici vremena u točki $ P.$ Ako je % latex2html id marker 42511
$ {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)>0,$ onda u točki $ P$ imamo izvor mase, ako je % latex2html id marker 42515
$ {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)<0,$ onda u točki $ P$ imamo ponor mase, ako je % latex2html id marker 42519
$ {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)=0,$ onda u točki $ P$ nema niti izvora, niti ponora mase.

Jednadžba kontinuiteta.

Pretpostavimo da se fluid giba u nekom području $ \Omega$ bez izvora i ponora, i da to gibanje ovisi i o vremenu (nije stacionarno). Dakle, gustoća mase je $ \rho(x,y,z,t).$ Zamislimo, u području gibanja, fiksno područje $ V,$ čiji je rub ploha $ S.$

\includegraphics{m2jedkont.eps}
Ukupna masa fluida u $ V$ je

$\displaystyle \iiint_V \rho\,dV.$

Ukupna masa, koja u jedinici vremena izađe iz $ V,$ je

$\displaystyle \iint_S\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS.$

S druge strane, ta veličina je jednaka promjeni ukupne mase u području $ V$

$\displaystyle -\frac{d}{dt}\iiint_V \rho\,dV =
-\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV.$

Dakle

$\displaystyle -\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV =
\iint_S\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS,$

odnosno

$\displaystyle \iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV +
\iint_S\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS = 0.$

Prema teoremu o divergenciji to je

% latex2html id marker 42549
$\displaystyle \iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV +
\iiint_V {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)\,dV = 0,$

odnosno

% latex2html id marker 42551
$\displaystyle \iiint_V \left[\frac{\partial\rho}{\partial t} +
{\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)\right]\,dV = 0.$

Budući da je podintegralna funkcija neprekidna, i da smo područje $ V$ mogli birati proizvoljno, slijedi

% latex2html id marker 42555
$\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t} + {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,) = 0.$

Ova jednadžba se zove jednadžba kontinuiteta i jedna je od osnovnih jednadžbi u hidromehanici.

Specijalno, ako je fluid nestlačiv (na pr. voda), onda je gustoća konstanta po prostornim varijablama i po vremenu, pa jednadžba kontinuiteta postaje

% latex2html id marker 42557
$\displaystyle {\rm div\,}\vec{v} = 0.$

Pitanja

1.
Navedite formule analogne teoremu o divergenciji koje se odnose na gradijent, rotaciju i Laplace.
2.
Navedite fizikalnu interpretaciju divergencije.
3.
Napišite jednadžbu kontinuiteta, i izvedite je.


next up previous contents index
Next: Obične diferencijalne jednadžbe Up: Plošni integrali Previous: Plošni integral 2. vrste   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11