Primjene teorema o divergenciji

Neke važne formule

Iz teorema o divergenciji slijede još neke važne formule.

$$\iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,dS = \iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi\,dV,$$

$$\iint_{\Sigma} \vec{n}_0\times\vec{a}\,dS = \iiint_{\Omega}\,{\rm rot\,}\vec{a}\,dV,$$

$$\iint_{\Sigma}\frac{\partial\varphi}{\partial\vec{n}_0}\,dS = \iiint_{\Omega}\, \Delta\,\varphi\,dV.$$

Na primjer

$$\iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,... ...ot\vec{\imath} \,dS = \iiint_{\Omega}\,{\rm div\,}(\varphi\,\vec{\imath}) \,dV$$

$$= \iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varp... ...vec{\imath} \,dV = \iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi \,dV\cdot\vec{\imath}.$$

Analogno

$$\iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,... ...cdot\vec{\jmath} = \iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi \,dV\cdot\vec{\jmath},$$

$$\iint_{\Sigma} \varphi\, \vec{n}_0\,dS \cdot\vec{k} = \iiint_{\Omega}\,{\rm grad\,}\varphi \,dV\cdot\vec{k}.$$

Teorem 24   Neka je $K(r)$ zatvorena kugla sa središtem u točki $P$ i radiusom $r.$ Neka je $V(r)$ njezin volumen. Neka je $\Sigma(r)$ sfera, koja čini rub kugle $K(r),$ i neka je $\vec{n}_0$ vektorsko polje vanjskih jediničnih normala na plohu $\Sigma(r).$ Neka je $\vec{a}$ vektorsko polje klase $C^1$ na nekom području koje sadrži $K(r).$

Tada vrijedi

$${\rm div\,}\vec{a}\,(P) = \lim_{r\searrow 0}\frac{1}{V(r)} \iint_{\Sigma(r)}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS.$$

Dokaz. Iz teorema o divergenciji slijedi

$$\iint_{\Sigma(r)}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS = \iiint_{K(r)} {\rm div\,}\vec{a}\,dV.$$

Budući da je ${\rm div\,}\vec{a}$ neprekidna funkcija, možemo primijeniti teorem srednje vrijednosti za integrale. Tako imamo

$$\iint_{\Sigma(r)}\vec{a}\cdot \vec{n}_0\,dS = {\rm div\,}\vec{a}(P')\,\iiint_{K(r)} dV = {\rm div\,}\vec{a}(P')\,V(r),$$

gdje je $P'$ neka točka iz kugle $K(r).$ Podijelimo s $V(r),$ i pustimo da $r\rightarrow 0.$ Tada se kugla steže na točku $P,$ i točka $P'$ teži k $P,$ pa prema tome doista vrijedi gornja formula. $\heartsuit$

Fizikalna interpretacija divergencije.

Prilikom definiranja plošnog integrala 2. vrste razmatrali smo stacionarno protjecanje fluida. Uočimo proizvoljnu točku $P$ u području gibanja fluida, i opišimo oko nje zatvorenu kuglu ${\bar K}(P;r)$ radiusa $r.$ Tok mase fluida u jedinici vremena kroz rub kugle $\Sigma(r)$ je

$$\iint_{\Sigma(r)}\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS.$$

Prosječna gustoća toka mase se dobije kad se ovaj broj podijeli s volumenom kugle $V(r)$

$$\frac{1}{V(r)}\iint_{\Sigma(r)}\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0 \,dS.$$

Pravu gustoću u točki $P$ ćemo dobiti kad uzmemo limes ovog integrala kad $r$ teži k nuli. To je upravo učinjeno u teoremu 24. Dakle možemo zaključiti da ${\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)$ predstavlja gustoću toka mase u jedinici vremena u točki $P.$ Ako je ${\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)>0,$ onda u točki $P$ imamo izvor mase, ako je ${\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)<0,$ onda u točki $P$ imamo ponor mase, ako je ${\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)(P)=0,$ onda u točki $P$ nema niti izvora, niti ponora mase.

Jednadžba kontinuiteta.

Pretpostavimo da se fluid giba u nekom području $\Omega$ bez izvora i ponora, i da to gibanje ovisi i o vremenu (nije stacionarno). Dakle, gustoća mase je $\rho(x,y,z,t).$ Zamislimo, u području gibanja, fiksno područje $V,$ čiji je rub ploha $S.$

Ukupna masa fluida u $V$ je

$$\iiint_V \rho\,dV.$$

Ukupna masa, koja u jedinici vremena izađe iz $V,$ je

$$\iint_S\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS.$$

S druge strane, ta veličina je jednaka promjeni ukupne mase u području $V$

$$-\frac{d}{dt}\iiint_V \rho\,dV = -\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV.$$

Dakle

$$-\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV = \iint_S\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS,$$

odnosno

$$\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV + \iint_S\rho\,\vec{v}\cdot\vec{n}_0\, dS = 0.$$

Prema teoremu o divergenciji to je

$$\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dV + \iiint_V {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)\,dV = 0,$$

odnosno

$$\iiint_V \left[\frac{\partial\rho}{\partial t} + {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,)\right]\,dV = 0.$$

Budući da je podintegralna funkcija neprekidna, i da smo područje $V$ mogli birati proizvoljno, slijedi

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + {\rm div\,}(\rho\,\vec{v}\,) = 0.$$

Ova jednadžba se zove jednadžba kontinuiteta i jedna je od osnovnih jednadžbi u hidromehanici.

Specijalno, ako je fluid nestlačiv (na pr. voda), onda je gustoća konstanta po prostornim varijablama i po vremenu, pa jednadžba kontinuiteta postaje

$${\rm div\,}\vec{v} = 0.$$

Pitanja

1.

Navedite formule analogne teoremu o divergenciji koje se odnose na gradijent, rotaciju i Laplace.

2.

Navedite fizikalnu interpretaciju divergencije.

3.

Napišite jednadžbu kontinuiteta, i izvedite je.