Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Divergencija i rotacija. Specijalna Up: Polja Previous: Polja   Contents   Index

Subsections

Skalarna i vektorska polja. Gradijent

Skalarna i vektorska polja

Definicija 35   Neka je $ \Omega$ područje u $ R^3.$ Funkciju $ f:\Omega\rightarrow R$ zovemo skalarnim poljem.

Primjer 4.1   Neka materijalno tijelo $ T,$ gustoće mase $ \rho$ zauzima u prostoru zatvoreno područje $ \Omega.$ Gustoća mase, funkcija $ \rho:\Omega\rightarrow R$ je skalarno polje.

Figure 4.1: Gustoća mase tanke ploče. Točke u tamnijim dijelovima imaju veću gustoću.
\includegraphics{m2skalpolje.eps}

Primjer 4.2   Temperatura $ u(x,y,z)$ u točki $ (x,y,z)$ prostorije u kojoj se nalazimo je funkcija definirana na dijelu prostora $ \Omega$ određenom ovom prostorijom, i prima vrijednosti u $ R,$ pa je $ u(x,y,z)$ prema tome skalarno polje.

Primjer 4.3   Potencijal gravitacijskog polja točkaste mase $ m$ smještene u točki $ (0,0,0)$ je dan formulom

$\displaystyle \varphi(x,y,z)=G\,\frac{m}{r}= G\,\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$

gdje je $ G$ univerzalna gravitacijska konstanta. Tako je $ \varphi$ skalarno polje definirano na % latex2html id marker 40707
$ R^3\setminus \{(0,0,0)\}.$

Primjer 4.4   Potencijal električnog polja točkastog naboja $ Q$ smještenog u točki $ (x_0,y_0,z_0)$ je dan formulom

$\displaystyle \varphi(x,y,z)=k\,\frac{Q}{r}=
k\,\frac{Q}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}},$

gdje je $ k$ konstanta, koja ovisi o dielektričnosti sredstva u kojem se nalazi polje. Tako je $ \varphi$ skalarno polje definirano na % latex2html id marker 40720
$ R^3\setminus \{(x_0,y_0,z_0)\}.$

Definicija 36   Neka je $ \Omega$ područje u $ R^3.$ Funkciju $ \vec{a}:\Omega \rightarrow
X_O(E)$ zovemo vektorskim poljem.

Figure 4.2: Gravitacijsko polje mase $ m$ u ravnini.
\includegraphics{m2vektpolje.eps}

Primjer 4.5   Primjer vektorskog polja je gravitacijsko polje mase $ m$ koncentrirane u točki $ (0,0,0),$ koje je dano formulom

$\displaystyle \vec{g}\,(x,y,z)=-G\,\frac{m}{r^2}\,\vec{r}_0,$

gdje je $ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ a $ \vec{r}_0 =\frac{ x\,\vec{\imath}+
y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$

Primjer 4.6   Primjer vektorskog polja je također električno polje točkastog naboja $ Q$ smještenog u točki $ (x_0,y_0,z_0),$ koje je dano formulom

$\displaystyle \vec{E}\,(x,y,z)=k\,\frac{Q}{r^2}\,\vec{r}_0,$

gdje je $ r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2},$ a $ \vec{r}_0
=\frac{(x-x_0)\,\vec{\imath}+ (y-y_0)\,\vec{\jmath}+
(z-z_0)\,\vec{k}}{r}.$

Primjer 4.7   Polje brzina gibanja nekog fluida kao na slici 4.3

Figure 4.3: Polje brzina gibanja fluida
\includegraphics{m2poljebrzflu.eps}

je također primjer vektorskog polja. Ako se slika gibanja mijenja tokom vremena, onda brzina $ \vec{v}$ ovisi, osim o prostornim koordinatama $ x,y,z,$ još i o vremenu $ t,$ tj.

$\displaystyle \vec{v}:\Omega\times [0,\infty\rangle\rightarrow X_O(E),$

gdje je $ (x,y,z)\in\Omega,$ $ t\in [0,\infty\rangle.$ Takva polja se zovu nestacionarna polja, za razliku od onih koja ne ovise o vremenu i koja se zovu stacionarna

Primjer 4.8   Polje pomaka torzije cilindra. Puni uspravni cilindar radiusa $ R,$ visine $ H$ je podvrgnut torziji. Jedna baza ostaje na miru, a kut zakreta se jednoliko povećava do visine $ H,$ gdje iznosi $ \theta.$ Pri tom pretpostavljamo da se zakret svakog poprečnog presjeka vrši okomito na os cilindra. Uočimo proizvoljnu materijalnu točku cilindra, čiji je početni položaj $ P.$ Nakon torzije ona zauzme položaj $ P'.$ Vektor $ \overrightarrow{PP'}$ uzet s početkom u točki $ P$ pokazuje pomak materijalne točke prilikom torzije. Zato vektorsko polje

$\displaystyle \vec{u}=\overrightarrow{PP'},$

definirano na zatvorenom području koje na početku zauzima cilindar, zovemo polje pomaka. Uz pretpostavku da se radi o malom kutu $ \theta,$ može se izvesti (v. 1) da je

$\displaystyle \vec{u}\,(x,y,z)=\frac{\theta\,z}{H}\,\left(-y\,\vec{\imath}+
x\,\vec{\jmath}\,\right).$

\includegraphics{m2torcil.eps}

Gradijent skalarnog polja

Definicija 37   Neka je $ f:\Omega\rightarrow R$ skalarno polje klase $ C^1(\Omega)$, i neka je $ (\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ ortonormirana baza u $ X_O(E).$ Vektorsku funkciju

% latex2html id marker 40810
$\displaystyle {\rm grad\,}f=\frac{\partial f}{\par...
...{\partial
f}{\partial y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial f}{\partial z}
\,\vec{k}$

zovemo gradijentom skalarnog polja $ f$.

Gradijent funkcije $ f$ možemo shvatiti kao djelovanje diferencijalnog operatora

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\,\vec{\imath} +\frac{\partial}{\partial
y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial}{\partial z} \,\vec{k}$

na funkciju $ f.$ Za taj operator se, osim oznake % latex2html id marker 40820
$ {\rm grad\,},$ često koristi oznaka $ \nabla$ (nabla), pa se tako umjesto % latex2html id marker 40824
$ {\rm grad\,}f$ često piše $ \nabla f.$

Svojstva gradijenta.

Neka je $ a,b\in R,$ i $ f\,g$ neprekidno derivabilne funkcije. Tada vrijedi

$\displaystyle \nabla\,(a\,f+b\,g)=a\,\nabla f +b\,\nabla g,$

$\displaystyle \nabla\,(f\,g)=g\,\nabla f+f\,\nabla g,$

$\displaystyle \nabla\,\left(\frac{f}{g}\right)= \frac{g\,\nabla f-f\,\nabla
g}{g^2},$

$\displaystyle \nabla\,(f{\scriptstyle\circ} g)=(f'{\scriptstyle\circ} g)\,\nabla g.$

Primjer 4.9   Nađimo gradijent skalarnog polja iz primjera 4.4.

Rješenje.

% latex2html id marker 40842
$\displaystyle {\rm grad\,}\varphi(x,y,z)={\rm grad...
...l r}{\partial
y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial r}{\partial z}
\,\vec{k}\right)=$

$\displaystyle {-\frac{k\,Q\,x}
{{{\left( {x^2} + {y^2} + {z^2} \right) }^
{{\fr...
...t) }^
{{\frac{3}{2}}}}}}\,\vec{k} = -k\,Q\,\frac{\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert^3}.$

Ako vektor $ \vec{r}=x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}$ napišemo u obliku

$\displaystyle \vec{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\frac{x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+
z\,\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=r\,\vec{r}_0,$

onda dobivamo

% latex2html id marker 40850
$\displaystyle {\rm grad\,}\varphi(x,y,z)=-\frac{k\,Q}{r^2}\,\vec{r}_0,$

gdje je $ \vec{r}_0$ jedinični vektor u smjeru vektora $ \vec{r}.$ Primijetimo da je $ r=\vert\vec{r}\,\vert.$

Primjer 4.10   Naći $ \nabla f(r),$ gdje je $ f$ derivabilna funkcija, dok je $ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

Rješenje. U primjeru 4.9 vidimo da je

$\displaystyle \nabla r=\frac{x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+
z\,\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\vec{r}}{r}=\vec{r}_0.$

Prema tome

$\displaystyle \nabla f(r)=f'(r)\,\nabla r=f'(r)\,\vec{r}_0.$

Derivacija skalarnog i vektorskog polja u smjeru

Derivacija skalarnog polja u smjeru

Neka je dano skalarno polje $ f,$ točka $ P_0=(x_0,y_0,z_0),$ i jedinični vektor $ \vec{u}=u_x\,\vec{\imath{}} +
u_y\,\vec{\jmath{}} + u_z\,\vec{k}.$ Neka je točka $ P$ udaljena od $ P_0$ za $ s$ u smjeru vektora $ \vec{u}.$

Figure 4.4: Derivacija skalarnog polja u smjeru.
\includegraphics{m2derusmjerskal.eps}

Iz slike vidimo da je

$\displaystyle \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0}
+ s\,\vec{u} = (x_0+s\,u_x)\,\vec{\imath{}} +
(y_0+s\,u_y)\,\vec{\jmath{}} + (z_0+s\,u_z)\,\vec{k}.$

Tako za zadanu točku $ P_0$ i zadani smjer $ \vec{u}$ imamo složenu funkciju od jedne varijable

$\displaystyle F(s)=f(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z) = f(P).$

Očito je $ F(0)=f(P_0).$ Interesira nas što se događa s kvocijentom

$\displaystyle \frac{f(P)-f(P_0)}{s} =
\frac{f(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z)-f(x_0,y_0,z_0)}{s} = \frac{F(s)-F(0)}{s}.$

kad $ s$ teži k nuli preko pozitivnih vrijednosti. S tim u vezi imamo sljedeću definiciju.

Definicija 38   Neka je $ f:\Omega\rightarrow R$ skalarno polje. Neka je $ P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \Omega,$ neka je dan jedinični vektor $ \vec{u}=u_x\,\vec{\imath}+ u_y\,\vec{\jmath}+ u_z\,\vec{k},$ i neka je $ s>0.$ Broj

$\displaystyle \lim_{s\searrow
0}\frac{f(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z)-f(x_0,y_0,z_0)}{s}
=\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial \vec{u}}$

$\displaystyle =\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial s},$

ako postoji, zove se derivacija skalarnog polja $ f$ u smjeru vektora $ \vec{u}$ u točki $ P_0.$

Derivacija u smjeru je dakle

$\displaystyle \lim_{s\searrow 0}\frac{F(s)-F(0)}{s}= \frac{\partial
f}{\partial...
...}{\partial y}\,u_y+
\frac{\partial f}{\partial z}\,u_z = \nabla f\cdot \vec{u}.$

Skalarni produkt vektora s jediničnim vektorom $ \vec{u}$ je skalarna komponenta projekcije vektora na pravac kroz $ \vec{u}.$

Figure 4.5: Derivacija u smjeru.
\includegraphics{m2grad.eps}

Prema tome derivacija u smjeru će biti najveća, ako vektor $ \vec{u}$ izaberemo u smjeru $ \nabla f.$ S druge strane, po definiciji derivacija u smjeru će biti najveća, ako izaberemo smjer najbržeg rasta skalarnog polja $ f.$ Dakle, možemo zaključiti da gradijent skalarnog polja pokazuje smjer njegovog najbržeg rasta.

Geometrijska interpretacija gradijenta.

Neka je $ f$ skalarno polje klase $ C^1$ na nekom području u prostoru. Ako stavimo

$\displaystyle f(x,y,z)=c,$

onda skup točaka koje zadovoljavaju tu jednadžbu predstavlja plohu $ \Pi$ u prostoru. Ploha $ \Pi$ je nivoploha polja $ f.$ Neka je $ P_0=(x_0,y_0,z_0)$ proizvoljna točka u $ \Pi,$ neka tom točkom prolazi glatka krivulja $ \Gamma {}$ (Jordanov luk)

$\displaystyle \vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+ y(t)\,\vec{\jmath}+
z(t)\,\vec{k},$

koja potpuno leži u plohi $ \Pi,$ i neka je $ x_0=x(t_0),y_0=y(t_0),z_0=z(t_0).$ Tada, za svaki $ t,$ vrijedi

$\displaystyle f(x(t),y(t),z(t))=c,\qquad \forall t.$

\includegraphics{m2geomgrad.eps}
Ako ovu jednakost deriviramo po $ t,$ dobivamo

% latex2html id marker 40970
$\displaystyle \frac{\partial f(P)}{\partial x}\,x'...
... \frac{\partial f(P)}{\partial z}\,z'(t)
={\rm grad\,}f(P)\cdot\vec{r}\,'(t)=0,$

gdje je $ P=(x(t),y(t),z(t)).$ Specijalno za $ t=t_0$ imamo

% latex2html id marker 40976
$\displaystyle {\rm grad\,}f(P_0)\cdot\vec{r}\,'(t_0)=0.$

Kako je $ \vec{r}\,'(t_0)$ vektor tangente na krivulju $ \Gamma {}$ u točki $ P_0,$ i prema tome leži u tangencijalnoj ravnini u točki $ P_0$ na plohu $ \Pi,$ i kako je krivulja $ \Gamma {}$ proizvoljna, slijedi da je gradijent skalarnog polja u točki $ P_0$ okomit na nivoplohu kroz tu točku. Budući da je točka $ P_0$ proizvoljna točka nivoplohe, slijedi da je gradijent okomit na nivoplohu u proizvoljnoj točki te plohe.

Možemo zaključiti da skalarno polje najbrže raste u smjeru okomitom na nivoplohu.

Derivacija vektorskog polja u smjeru

Definicija 39   Neka je $ \vec{a}:\Omega \rightarrow
X_O(E)$ vektorsko polje. Neka je $ P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \Omega,$ neka je dan jedinični vektor $ \vec{u}=u_x\,\vec{\imath}+ u_y\,\vec{\jmath}+ u_z\,\vec{k},$ i neka je $ s>0.$ Vektor

$\displaystyle \lim_{s\searrow
0}\frac{\vec{a}(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z)...
...tial \vec{a}(P_0)}{\partial \vec{u}}
=\frac{\partial \vec{a}(P_0)}{\partial s},$

ako postoji, zove se derivacija vektorskog polja $ \vec{a}$ u smjeru vektora $ \vec{u}$ u točki $ P_0.$

Figure 4.6: Derivacija vektorskog polja u smjeru.
\includegraphics{m2derusmjervekt.eps}

Neka je $ \vec{a}:\Omega \rightarrow
X_O(E)$ vektorsko polje klase $ C^1(\Omega).$ Neka je

$\displaystyle \vec{a}(x,y,z)=a_x(x,y,z)\,\vec{\imath}+a_y(x,y,z)\,
\vec{\jmath}+a_z(x,y,z)\,\vec{k}.$

Stavimo

$\displaystyle f(s)=a_x(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z),$

$\displaystyle g(s)=a_y(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z),$

$\displaystyle h(s)=a_z(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z).$

Tada je

$\displaystyle \frac{\partial \vec{a}(P_0)}{\partial \vec{u}}=\lim_{s\searrow
0}...
...ac{g(s)-g(0)}{s}\,\vec{\jmath}+ \lim_{s\searrow
0}\frac{h(s)-h(0)}{s}\,\vec{k}.$

Svaka od skalarnih komponenti je derivacija odgovarajućeg skalarnog polja u smjeru, pa imamo
$\displaystyle \frac{\partial \vec{a}(P_0)}{\partial \vec{u}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \frac{\partial a_x(P_0)}{\partial x}\, u_x+ \frac{\partial...
...rtial y}\, u_y+ \frac{\partial a_x(P_0)}{\partial z}
\,u_z\right)\,\vec{\imath}$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle \left(
\frac{\partial a_y(P_0)}{\partial x}\, u_x+ \frac{\partial...
...rtial y} \,u_y+ \frac{\partial a_y(P_0)}{\partial z}
\,u_z\right)\,\vec{\jmath}$  
  $\displaystyle +$ $\displaystyle \left(
\frac{\partial a_z(P_0)}{\partial x} \,u_x+ \frac{\partial...
...}{\partial y} \,u_y+ \frac{\partial a_z(P_0)}{\partial z}
\,u_z\right)\,\vec{k}$  

$\displaystyle = u_x\,\frac{\partial\vec{a}(P_0)}{\partial x} +
u_y\,\frac{\part...
...\partial z}\right)\vec{a}(P_0) =
\left(\vec{u}\cdot\nabla\right)\,\vec{a}(P_0).$

Pitanja

1.
Definirajte skalarno polje. Dajte primjere.
2.
Definirajte vektorsko polje. Dajte primjere.
3.
Definirajte gradijent skalarnog polja. Koja su njegova svojstva?
4.
Kako se definira derivacija skalarnog polja u smjeru? Kako se računa?
5.
Što se može reći o smjeru određenom gradijentom skalarnog polja u vezi s tim poljem?
6.
Definirajte derivaciju vektorskog polja u smjeru. Kojom formulom se računa?

Riješeni zadaci

1.
Izvesti formulu za vektorsko polje iz primjera 4.8. Rješenje. Pretpostavimo da je koordinatni sustav postavljen tako da je os $ z$ os cilindra, da je jedna baza u ravnini $ x\,y,$ a druga u ravnini $ z=H.$ Nađimo polje pomaka. Po pretpostavci kut zakreta $ \alpha(z)$ se povećava proporcionalno visini

$\displaystyle \alpha(z)=\lambda\,z+\mu.$

$ \alpha(0)=0,$ i $ \alpha(H)=\theta$ daje

$\displaystyle \alpha(z)=\frac{\theta\,z}{H}.$

Dakle, u poprečnom presjeku na visini $ H$ radi se o rotaciji u ravnini okomitoj na os $ z$ za kut $ \frac{\theta\,z}{H}.$ Ako je materijalna točka na početku imala koordinate

$\displaystyle x=r\,\cos\varphi,\;\;y=r\,\sin\varphi,\;\;z=z\hspace{1cm}
0\leqslant r\leqslant R,\;0\leqslant\varphi <2\,\pi,\;0\leqslant z\leqslant H,$

nakon torzije imat će koordinate

$\displaystyle x'=r\,\cos\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right),\;\;
y'=r\,\sin\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right),\;\;z'=z,$

$ 0\leqslant r\leqslant R,0\leqslant\varphi <2\,\pi,0\leqslant z\leqslant H.$ Vektorsko polje pomaka je tako

$\displaystyle \vec{u}\,(r,\varphi,z)=
(x'-x)\,\vec{\imath}+(y'-y)\,\vec{\jmath}+(z'-z)\,\vec{k}$

$\displaystyle =r\,\left(\cos\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right)-
\cos\varp...
...\sin\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right)-
\sin\varphi\right)\,\vec{\jmath}.$

Nakon primjene adicionih formula dobivamo

$\displaystyle \vec{u}\,(r,\varphi,z)=
\left(-r\,\sin\varphi\,\sin\frac{\theta\,z}{H}-r\,\cos\varphi+
r\,\cos\varphi\,\cos\frac{\theta\,z}{H}\right)\,\vec{\imath}$

$\displaystyle +\left(r\,\cos\varphi\,\sin\frac{\theta\,z}{H}-r\,\sin\varphi+
r\,\sin\varphi\,\cos\frac{\theta\,z}{H}\right)\,\vec{\jmath}.$

Odatle

$\displaystyle \vec{u}\,(x,y,z)=
\left(-x+x\,\cos\frac{\theta\,z}{H}-
y\,\sin\fr...
...-y+x\,\sin\frac{\theta\,z}{H}+
y\,\cos\frac{\theta\,z}{H}\right)\,\vec{\jmath}.$

Primijetimo da za vrlo male torzije, tj. za % latex2html id marker 41093
$ \theta\approx 0$ imamo % latex2html id marker 41095
$ \sin\frac{\theta\,z}{H}\approx \frac{\theta\,z}{H},$ i % latex2html id marker 41097
$ \cos\frac{\theta\,z}{H}\approx 1,$ pa je u tom slučaju vektorsko polje pomaka

$\displaystyle \vec{u}\,(x,y,z)=\frac{\theta\,z}{H}\,\left(-y\,\vec{\imath}+
x\,\vec{\jmath}\,\right).$

2.
Naći % latex2html id marker 41101
$ {\rm grad\,}\vert\vec{c}\times{}\vec{r}\vert,$ gdje je $ \vec{c}$ konstantno vektorsko polje, a $ \vec{r}=x\vec{\imath{}}+
y\vec{\jmath{}} + z\vec{k}.$

Rješenje.

$\displaystyle \vert\vec{c}\times{}\vec{r}\vert =
\sqrt{(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r})},$

pa je

% latex2html id marker 41109
$\displaystyle {\rm grad\,}\vert\vec{c}\times{}\vec...
...{}\vec{r})}{2\,\sqrt{(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r})}}.$

Zbog svojstava mješovitog i vektorsko-vektorskog produkta vektora, imamo

$\displaystyle (\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r}) =
\vec{c}...
...vec{r}) = \vert\vec{c}\vert^2\,\vert\vec{r}\vert^2 -
(\vec{c}\cdot{}\vec{r})^2.$

Iz primjera 4.10 slijedi

% latex2html id marker 41113
$\displaystyle {\rm grad\,}\vert\vec{c}\vert^2\,\ve...
...\vec{c}\vert^2\,\vert\vec{r}\vert\,\vec{r}_0 = 2\,\vert\vec{c}\vert^2\,\vec{r}.$

Zatim

% latex2html id marker 41115
$\displaystyle {\rm grad\,}(\vec{c}\cdot{}\vec{r})^...
...})\,{\rm grad\,}
(\vec{c}\cdot{}\vec{r}) = 2\,(\vec{c}\cdot{}\vec{r})\,\vec{c}.$

Dakle

% latex2html id marker 41117
$\displaystyle {\rm grad\,}\vert\vec{c}\times{}\vec...
...)\,\vec{c}}{2\,\sqrt{(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r})}}.$

3.
Naći derivaciju skalarnog polja $ f(x,y,z)=x^2+y^2-z,$ u točki $ T=(x,y,z),$ u smjeru radijvektora točke $ T.$

Rješenje. Jedinični vektor u smjeru radijvektora točke $ T$ je

$\displaystyle \vec{u} = \vec{r}_0 = \frac{\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert} =
\frac{x\,\vec{\imath{} + y\,\vec{\jmath{}} + z\,\vec{k}}}{\sqrt{x^2 +
y^2 + z^2}}.$

Zatim

% latex2html id marker 41129
$\displaystyle {\rm grad\,}f(x,y,z) = {\rm grad\,}(x^2+y^2-z) = 2\,x\,\vec{\imath{}} +
2\,y\,\vec{\jmath{}} - \vec{k}.$

Dakle

$\displaystyle \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial \vec{u}} = \frac{2\,x^2 + 2\,y^2 -
z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}.$

4.
Naći derivaciju gradijenta skalarnog polja $ f(x,y,z)=x^2+y^2-z,$ u točki $ T=(x,y,z),$ u smjeru radijvektora točke $ T.$

Rješenje. Iz prethodnog zadatka

% latex2html id marker 41139
$\displaystyle \vec{u} = \frac{x\,\vec{\imath{} + y...
...d {\rm grad\,}f(x,y,z) =
2\,x\,\vec{\imath{}} + 2\,y\,\vec{\jmath{}} - \vec{k}.$

Odatle

% latex2html id marker 41141
$\displaystyle \frac{\partial {\rm grad\,}{f}(x,y,z...
...} =
\frac{2\,x\,\vec{\imath{}} + 2\,y\,\vec{\jmath{}}}{\sqrt{x^2 + y^2 +
z^2}}.$


next up previous contents index
Next: Divergencija i rotacija. Specijalna Up: Polja Previous: Polja   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11