Skalarna i vektorska polja. Gradijent

Skalarna i vektorska polja

Definicija 35   Neka je $\Omega$ područje u $R^3.$ Funkciju $f:\Omega\rightarrow R$ zovemo skalarnim poljem.

Primjer 4.1   Neka materijalno tijelo $T,$ gustoće mase $\rho$ zauzima u prostoru zatvoreno područje $\Omega.$ Gustoća mase, funkcija $\rho:\Omega\rightarrow R$ je skalarno polje.

Figure 4.1: Gustoća mase tanke ploče. Točke u tamnijim dijelovima imaju veću gustoću.

Primjer 4.2   Temperatura $u(x,y,z)$ u točki $(x,y,z)$ prostorije u kojoj se nalazimo je funkcija definirana na dijelu prostora $\Omega$ određenom ovom prostorijom, i prima vrijednosti u $R,$ pa je $u(x,y,z)$ prema tome skalarno polje.

Primjer 4.3   Potencijal gravitacijskog polja točkaste mase $m$ smještene u točki $(0,0,0)$ je dan formulom

$$\varphi(x,y,z)=G\,\frac{m}{r}= G\,\frac{m}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$$

gdje je $G$ univerzalna gravitacijska konstanta. Tako je $\varphi$ skalarno polje definirano na $R^3\setminus \{(0,0,0)\}.$

Primjer 4.4   Potencijal električnog polja točkastog naboja $Q$ smještenog u točki $(x_0,y_0,z_0)$ je dan formulom

$$\varphi(x,y,z)=k\,\frac{Q}{r}= k\,\frac{Q}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}},$$

gdje je $k$ konstanta, koja ovisi o dielektričnosti sredstva u kojem se nalazi polje. Tako je $\varphi$ skalarno polje definirano na $R^3\setminus \{(x_0,y_0,z_0)\}.$

Definicija 36   Neka je $\Omega$ područje u $R^3.$ Funkciju $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ zovemo vektorskim poljem.

Figure 4.2: Gravitacijsko polje mase $m$ u ravnini.

Primjer 4.5   Primjer vektorskog polja je gravitacijsko polje mase $m$ koncentrirane u točki $(0,0,0),$ koje je dano formulom

$$\vec{g}\,(x,y,z)=-G\,\frac{m}{r^2}\,\vec{r}_0,$$

gdje je $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},$ a $\vec{r}_0 =\frac{ x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$

Primjer 4.6   Primjer vektorskog polja je također električno polje točkastog naboja $Q$ smještenog u točki $(x_0,y_0,z_0),$ koje je dano formulom

$$\vec{E}\,(x,y,z)=k\,\frac{Q}{r^2}\,\vec{r}_0,$$

gdje je $r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2},$ a $\vec{r}_0 =\frac{(x-x_0)\,\vec{\imath}+ (y-y_0)\,\vec{\jmath}+ (z-z_0)\,\vec{k}}{r}.$

Primjer 4.7   Polje brzina gibanja nekog fluida kao na slici 4.3

Figure 4.3: Polje brzina gibanja fluida

je također primjer vektorskog polja. Ako se slika gibanja mijenja tokom vremena, onda brzina $\vec{v}$ ovisi, osim o prostornim koordinatama $x,y,z,$ još i o vremenu $t,$ tj.

$$\vec{v}:\Omega\times [0,\infty\rangle\rightarrow X_O(E),$$

gdje je $(x,y,z)\in\Omega,$ $t\in [0,\infty\rangle.$ Takva polja se zovu nestacionarna polja, za razliku od onih koja ne ovise o vremenu i koja se zovu stacionarna

Primjer 4.8   Polje pomaka torzije cilindra. Puni uspravni cilindar radiusa $R,$ visine $H$ je podvrgnut torziji. Jedna baza ostaje na miru, a kut zakreta se jednoliko povećava do visine $H,$ gdje iznosi $\theta.$ Pri tom pretpostavljamo da se zakret svakog poprečnog presjeka vrši okomito na os cilindra. Uočimo proizvoljnu materijalnu točku cilindra, čiji je početni položaj $P.$ Nakon torzije ona zauzme položaj $P'.$ Vektor $\overrightarrow{PP'}$ uzet s početkom u točki $P$ pokazuje pomak materijalne točke prilikom torzije. Zato vektorsko polje

$$\vec{u}=\overrightarrow{PP'},$$

definirano na zatvorenom području koje na početku zauzima cilindar, zovemo polje pomaka. Uz pretpostavku da se radi o malom kutu $\theta,$ može se izvesti (v. 1) da je

$$\vec{u}\,(x,y,z)=\frac{\theta\,z}{H}\,\left(-y\,\vec{\imath}+ x\,\vec{\jmath}\,\right).$$

Gradijent skalarnog polja

Definicija 37   Neka je $f:\Omega\rightarrow R$ skalarno polje klase $C^1(\Omega)$, i neka je $(\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$ ortonormirana baza u $X_O(E).$ Vektorsku funkciju

$${\rm grad\,}f=\frac{\partial f}{\par... ...{\partial f}{\partial y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial f}{\partial z} \,\vec{k}$$

zovemo gradijentom skalarnog polja $f$.

Gradijent funkcije $f$ možemo shvatiti kao djelovanje diferencijalnog operatora

$$\frac{\partial}{\partial x}\,\vec{\imath} +\frac{\partial}{\partial y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial}{\partial z} \,\vec{k}$$

na funkciju $f.$ Za taj operator se, osim oznake ${\rm grad\,},$ često koristi oznaka $\nabla$ (nabla), pa se tako umjesto ${\rm grad\,}f$ često piše $\nabla f.$

Svojstva gradijenta.

Neka je $a,b\in R,$ i $f\,g$ neprekidno derivabilne funkcije. Tada vrijedi

$$\nabla\,(a\,f+b\,g)=a\,\nabla f +b\,\nabla g,$$

$$\nabla\,(f\,g)=g\,\nabla f+f\,\nabla g,$$

$$\nabla\,\left(\frac{f}{g}\right)= \frac{g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g^2},$$

$$\nabla\,(f{\scriptstyle\circ} g)=(f'{\scriptstyle\circ} g)\,\nabla g.$$

Primjer 4.9   Nađimo gradijent skalarnog polja iz primjera 4.4.

Rješenje.

$${\rm grad\,}\varphi(x,y,z)={\rm grad... ...l r}{\partial y}\,\vec{\jmath} +\frac{\partial r}{\partial z} \,\vec{k}\right)=$$

$${-\frac{k\,Q\,x} {{{\left( {x^2} + {y^2} + {z^2} \right) }^ {{\fr... ...t) }^ {{\frac{3}{2}}}}}}\,\vec{k} = -k\,Q\,\frac{\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert^3}.$$

Ako vektor $\vec{r}=x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}$ napišemo u obliku

$$\vec{r}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,\frac{x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=r\,\vec{r}_0,$$

onda dobivamo

$${\rm grad\,}\varphi(x,y,z)=-\frac{k\,Q}{r^2}\,\vec{r}_0,$$

gdje je $\vec{r}_0$ jedinični vektor u smjeru vektora $\vec{r}.$ Primijetimo da je $r=\vert\vec{r}\,\vert.$

Primjer 4.10   Naći $\nabla f(r),$ gdje je $f$ derivabilna funkcija, dok je $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

Rješenje. U primjeru 4.9 vidimo da je

$$\nabla r=\frac{x\,\vec{\imath}+ y\,\vec{\jmath}+ z\,\vec{k}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{\vec{r}}{r}=\vec{r}_0.$$

Prema tome

$$\nabla f(r)=f'(r)\,\nabla r=f'(r)\,\vec{r}_0.$$

Derivacija skalarnog i vektorskog polja u smjeru

Derivacija skalarnog polja u smjeru

Neka je dano skalarno polje $f,$ točka $P_0=(x_0,y_0,z_0),$ i jedinični vektor $\vec{u}=u_x\,\vec{\imath{}} + u_y\,\vec{\jmath{}} + u_z\,\vec{k}.$ Neka je točka $P$ udaljena od $P_0$ za $s$ u smjeru vektora $\vec{u}.$

Figure 4.4: Derivacija skalarnog polja u smjeru.

Iz slike vidimo da je

$$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_0} + s\,\vec{u} = (x_0+s\,u_x)\,\vec{\imath{}} + (y_0+s\,u_y)\,\vec{\jmath{}} + (z_0+s\,u_z)\,\vec{k}.$$

Tako za zadanu točku $P_0$ i zadani smjer $\vec{u}$ imamo složenu funkciju od jedne varijable

$$F(s)=f(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z) = f(P).$$

Očito je $F(0)=f(P_0).$ Interesira nas što se događa s kvocijentom

$$\frac{f(P)-f(P_0)}{s} = \frac{f(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z)-f(x_0,y_0,z_0)}{s} = \frac{F(s)-F(0)}{s}.$$

kad $s$ teži k nuli preko pozitivnih vrijednosti. S tim u vezi imamo sljedeću definiciju.

Definicija 38   Neka je $f:\Omega\rightarrow R$ skalarno polje. Neka je $P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \Omega,$ neka je dan jedinični vektor $\vec{u}=u_x\,\vec{\imath}+ u_y\,\vec{\jmath}+ u_z\,\vec{k},$ i neka je $s>0.$ Broj

$$\lim_{s\searrow 0}\frac{f(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z)-f(x_0,y_0,z_0)}{s} =\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial \vec{u}}$$

$$=\frac{\partial f(x_0,y_0,z_0)}{\partial s},$$

ako postoji, zove se derivacija skalarnog polja $f$ u smjeru vektora $\vec{u}$ u točki $P_0.$

Derivacija u smjeru je dakle

$$\lim_{s\searrow 0}\frac{F(s)-F(0)}{s}= \frac{\partial f}{\partial... ...}{\partial y}\,u_y+ \frac{\partial f}{\partial z}\,u_z = \nabla f\cdot \vec{u}.$$

Skalarni produkt vektora s jediničnim vektorom $\vec{u}$ je skalarna komponenta projekcije vektora na pravac kroz $\vec{u}.$

Figure 4.5: Derivacija u smjeru.

Prema tome derivacija u smjeru će biti najveća, ako vektor $\vec{u}$ izaberemo u smjeru $\nabla f.$ S druge strane, po definiciji derivacija u smjeru će biti najveća, ako izaberemo smjer najbržeg rasta skalarnog polja $f.$ Dakle, možemo zaključiti da gradijent skalarnog polja pokazuje smjer njegovog najbržeg rasta.

Geometrijska interpretacija gradijenta.

Neka je $f$ skalarno polje klase $C^1$ na nekom području u prostoru. Ako stavimo

$$f(x,y,z)=c,$$

onda skup točaka koje zadovoljavaju tu jednadžbu predstavlja plohu $\Pi$ u prostoru. Ploha $\Pi$ je nivoploha polja $f.$ Neka je $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ proizvoljna točka u $\Pi,$ neka tom točkom prolazi glatka krivulja $\Gamma {}$ (Jordanov luk)

$$\vec{r}\,(t)=x(t)\,\vec{\imath}+ y(t)\,\vec{\jmath}+ z(t)\,\vec{k},$$

koja potpuno leži u plohi $\Pi,$ i neka je $x_0=x(t_0),y_0=y(t_0),z_0=z(t_0).$ Tada, za svaki $t,$ vrijedi

$$f(x(t),y(t),z(t))=c,\qquad \forall t.$$

Ako ovu jednakost deriviramo po $t,$ dobivamo

$$\frac{\partial f(P)}{\partial x}\,x'... ... \frac{\partial f(P)}{\partial z}\,z'(t) ={\rm grad\,}f(P)\cdot\vec{r}\,'(t)=0,$$

gdje je $P=(x(t),y(t),z(t)).$ Specijalno za $t=t_0$ imamo

$${\rm grad\,}f(P_0)\cdot\vec{r}\,'(t_0)=0.$$

Kako je $\vec{r}\,'(t_0)$ vektor tangente na krivulju $\Gamma {}$ u točki $P_0,$ i prema tome leži u tangencijalnoj ravnini u točki $P_0$ na plohu $\Pi,$ i kako je krivulja $\Gamma {}$ proizvoljna, slijedi da je gradijent skalarnog polja u točki $P_0$ okomit na nivoplohu kroz tu točku. Budući da je točka $P_0$ proizvoljna točka nivoplohe, slijedi da je gradijent okomit na nivoplohu u proizvoljnoj točki te plohe.

Možemo zaključiti da skalarno polje najbrže raste u smjeru okomitom na nivoplohu.

Derivacija vektorskog polja u smjeru

Definicija 39   Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje. Neka je $P_0=(x_0,y_0,z_0)\in \Omega,$ neka je dan jedinični vektor $\vec{u}=u_x\,\vec{\imath}+ u_y\,\vec{\jmath}+ u_z\,\vec{k},$ i neka je $s>0.$ Vektor

$$\lim_{s\searrow 0}\frac{\vec{a}(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z)... ...tial \vec{a}(P_0)}{\partial \vec{u}} =\frac{\partial \vec{a}(P_0)}{\partial s},$$

ako postoji, zove se derivacija vektorskog polja $\vec{a}$ u smjeru vektora $\vec{u}$ u točki $P_0.$

Figure 4.6: Derivacija vektorskog polja u smjeru.

Neka je $\vec{a}:\Omega \rightarrow X_O(E)$ vektorsko polje klase $C^1(\Omega).$ Neka je

$$\vec{a}(x,y,z)=a_x(x,y,z)\,\vec{\imath}+a_y(x,y,z)\, \vec{\jmath}+a_z(x,y,z)\,\vec{k}.$$

Stavimo

$$f(s)=a_x(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z),$$

$$g(s)=a_y(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z),$$

$$h(s)=a_z(x_0+s\,u_x,y_0+s\,u_y,z_0+s\,u_z).$$

Tada je

$$\frac{\partial \vec{a}(P_0)}{\partial \vec{u}}=\lim_{s\searrow 0}... ...ac{g(s)-g(0)}{s}\,\vec{\jmath}+ \lim_{s\searrow 0}\frac{h(s)-h(0)}{s}\,\vec{k}.$$

Svaka od skalarnih komponenti je derivacija odgovarajućeg skalarnog polja u smjeru, pa imamo

$$\frac{\partial \vec{a}(P_0)}{\partial \vec{u}} = \left( \frac{\partial a_x(P_0)}{\partial x}\, u_x+ \frac{\partial... ...rtial y}\, u_y+ \frac{\partial a_x(P_0)}{\partial z} \,u_z\right)\,\vec{\imath}$$

$$+ \left( \frac{\partial a_y(P_0)}{\partial x}\, u_x+ \frac{\partial... ...rtial y} \,u_y+ \frac{\partial a_y(P_0)}{\partial z} \,u_z\right)\,\vec{\jmath}$$

$$+ \left( \frac{\partial a_z(P_0)}{\partial x} \,u_x+ \frac{\partial... ...}{\partial y} \,u_y+ \frac{\partial a_z(P_0)}{\partial z} \,u_z\right)\,\vec{k}$$

$$= u_x\,\frac{\partial\vec{a}(P_0)}{\partial x} + u_y\,\frac{\part... ...\partial z}\right)\vec{a}(P_0) = \left(\vec{u}\cdot\nabla\right)\,\vec{a}(P_0).$$

Pitanja

1.

Definirajte skalarno polje. Dajte primjere.

2.

Definirajte vektorsko polje. Dajte primjere.

3.

Definirajte gradijent skalarnog polja. Koja su njegova svojstva?

4.

Kako se definira derivacija skalarnog polja u smjeru? Kako se računa?

5.

Što se može reći o smjeru određenom gradijentom skalarnog polja u vezi s tim poljem?

6.

Definirajte derivaciju vektorskog polja u smjeru. Kojom formulom se računa?

Riješeni zadaci

1.

Izvesti formulu za vektorsko polje iz primjera 4.8. Rješenje. Pretpostavimo da je koordinatni sustav postavljen tako da je os $z$ os cilindra, da je jedna baza u ravnini $x\,y,$ a druga u ravnini $z=H.$ Nađimo polje pomaka. Po pretpostavci kut zakreta $\alpha(z)$ se povećava proporcionalno visini

$$\alpha(z)=\lambda\,z+\mu.$$

$\alpha(0)=0,$ i $\alpha(H)=\theta$ daje

$$\alpha(z)=\frac{\theta\,z}{H}.$$

Dakle, u poprečnom presjeku na visini $H$ radi se o rotaciji u ravnini okomitoj na os $z$ za kut $\frac{\theta\,z}{H}.$ Ako je materijalna točka na početku imala koordinate

$$x=r\,\cos\varphi,\;\;y=r\,\sin\varphi,\;\;z=z\hspace{1cm} 0\leqslant r\leqslant R,\;0\leqslant\varphi <2\,\pi,\;0\leqslant z\leqslant H,$$

nakon torzije imat će koordinate

$$x'=r\,\cos\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right),\;\; y'=r\,\sin\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right),\;\;z'=z,$$

$0\leqslant r\leqslant R,0\leqslant\varphi <2\,\pi,0\leqslant z\leqslant H.$ Vektorsko polje pomaka je tako

$$\vec{u}\,(r,\varphi,z)= (x'-x)\,\vec{\imath}+(y'-y)\,\vec{\jmath}+(z'-z)\,\vec{k}$$

$$=r\,\left(\cos\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right)- \cos\varp... ...\sin\left(\varphi+\frac{\theta\,z}{H}\right)- \sin\varphi\right)\,\vec{\jmath}.$$

Nakon primjene adicionih formula dobivamo

$$\vec{u}\,(r,\varphi,z)= \left(-r\,\sin\varphi\,\sin\frac{\theta\,z}{H}-r\,\cos\varphi+ r\,\cos\varphi\,\cos\frac{\theta\,z}{H}\right)\,\vec{\imath}$$

$$+\left(r\,\cos\varphi\,\sin\frac{\theta\,z}{H}-r\,\sin\varphi+ r\,\sin\varphi\,\cos\frac{\theta\,z}{H}\right)\,\vec{\jmath}.$$

Odatle

$$\vec{u}\,(x,y,z)= \left(-x+x\,\cos\frac{\theta\,z}{H}- y\,\sin\fr... ...-y+x\,\sin\frac{\theta\,z}{H}+ y\,\cos\frac{\theta\,z}{H}\right)\,\vec{\jmath}.$$

Primijetimo da za vrlo male torzije, tj. za $\theta\approx 0$ imamo $\sin\frac{\theta\,z}{H}\approx \frac{\theta\,z}{H},$ i $\cos\frac{\theta\,z}{H}\approx 1,$ pa je u tom slučaju vektorsko polje pomaka

$$\vec{u}\,(x,y,z)=\frac{\theta\,z}{H}\,\left(-y\,\vec{\imath}+ x\,\vec{\jmath}\,\right).$$

2.

Naći ${\rm grad\,}\vert\vec{c}\times{}\vec{r}\vert,$ gdje je $\vec{c}$ konstantno vektorsko polje, a $\vec{r}=x\vec{\imath{}}+ y\vec{\jmath{}} + z\vec{k}.$

Rješenje.

$$\vert\vec{c}\times{}\vec{r}\vert = \sqrt{(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r})},$$

pa je

$${\rm grad\,}\vert\vec{c}\times{}\vec... ...{}\vec{r})}{2\,\sqrt{(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r})}}.$$

Zbog svojstava mješovitog i vektorsko-vektorskog produkta vektora, imamo

$$(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r}) = \vec{c}... ...vec{r}) = \vert\vec{c}\vert^2\,\vert\vec{r}\vert^2 - (\vec{c}\cdot{}\vec{r})^2.$$

Iz primjera 4.10 slijedi

$${\rm grad\,}\vert\vec{c}\vert^2\,\ve... ...\vec{c}\vert^2\,\vert\vec{r}\vert\,\vec{r}_0 = 2\,\vert\vec{c}\vert^2\,\vec{r}.$$

Zatim

$${\rm grad\,}(\vec{c}\cdot{}\vec{r})^... ...})\,{\rm grad\,} (\vec{c}\cdot{}\vec{r}) = 2\,(\vec{c}\cdot{}\vec{r})\,\vec{c}.$$

Dakle

$${\rm grad\,}\vert\vec{c}\times{}\vec... ...)\,\vec{c}}{2\,\sqrt{(\vec{c}\times{}\vec{r})\cdot{}(\vec{c}\times{}\vec{r})}}.$$

3.

Naći derivaciju skalarnog polja $f(x,y,z)=x^2+y^2-z,$ u točki $T=(x,y,z),$ u smjeru radijvektora točke $T.$

Rješenje. Jedinični vektor u smjeru radijvektora točke $T$ je

$$\vec{u} = \vec{r}_0 = \frac{\vec{r}}{\vert\vec{r}\vert} = \frac{x\,\vec{\imath{} + y\,\vec{\jmath{}} + z\,\vec{k}}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}.$$

Zatim

$${\rm grad\,}f(x,y,z) = {\rm grad\,}(x^2+y^2-z) = 2\,x\,\vec{\imath{}} + 2\,y\,\vec{\jmath{}} - \vec{k}.$$

Dakle

$$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial \vec{u}} = \frac{2\,x^2 + 2\,y^2 - z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}.$$

4.

Naći derivaciju gradijenta skalarnog polja $f(x,y,z)=x^2+y^2-z,$ u točki $T=(x,y,z),$ u smjeru radijvektora točke $T.$

Rješenje. Iz prethodnog zadatka

$$\vec{u} = \frac{x\,\vec{\imath{} + y... ...d {\rm grad\,}f(x,y,z) = 2\,x\,\vec{\imath{}} + 2\,y\,\vec{\jmath{}} - \vec{k}.$$

Odatle

$$\frac{\partial {\rm grad\,}{f}(x,y,z... ...} = \frac{2\,x\,\vec{\imath{}} + 2\,y\,\vec{\jmath{}}}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}.$$