Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Primjene integrala Up: Višestruki integrali Previous: Trostruki integral   Contents   Index

Subsections

Računanje integrala supstitucijom


Polarni koordinatni sustav u ravnini

Neka je u ravnini dana točka $ O$ i zraka (polupravac) kojoj je vrh točka $ O.$ Odredimo na polupravcu točku $ E$ koja je različita od $ O.$ Na poznati način (kao na brojevnom pravcu) možemo na polupravac nanijeti nenegativne realne brojeve. Svakoj točki $ T$ u ravnini možemo pridružiti broj $ r$ udaljenost točke $ T$ od $ O.$ Ako je $ T\neq O,$ onda točki $ T$ možemo također pridružiti kut $ \varphi$ što ga dužina $ \overline{OT}$ zatvara s polupravcem.

Figure 2.10: Polarni koordinatni sustav u ravnini.
\includegraphics{m2polarsust.eps}

Taj kut smatramo pozitivnim, ako se od polupravca do dužine $ \overline{OT}$ ide kruženjem protivnim kruženju kazaljke na satu. U drugom slučaju kut smatramo negativnim. Za $ T=O$ kut $ \varphi$ nije određen. Točka $ O$ je jednoznačno određena time da je $ r=0.$ Tako točki $ T\neq O$ možemo pridružiti uređeni par brojeva $ (r,\varphi).$ Pri tom je $ r>0,$ a $ \varphi \in R.$ Ako je

$\displaystyle T\mapsto (r,\varphi),\;\;T\mapsto (r_1,\phi),$

onda je

$\displaystyle r=r_1,\hspace{1cm}\varphi-\phi=2k\pi,\;\;k\in Z.$

Dakle, jednoj točki $ T\neq O$ je pridruženo beskonačno mnogo uređenih parova $ (r,\varphi).$

Obratno, svakom uređenom paru realnih brojeva $ (r,\varphi),$ tako da je $ r>0$ i $ \varphi \in R$ je pridružena jedna točka $ T$ u ravnini različita od $ O.$

Ovo pridruživanje se zove polarni koordinatni sustav u ravnini. Imamo sljedeće oznake. Točka $ O$ se zove pol, polupravac se zove polarna os, brojevi $ r$ i $ \varphi$ se zovu polarne koordinate.

Ako u ravnini zadamo Kartezijev pravokutni koordinatni sustav i polarni sustav tako da se ishodište poklopi s polom, a polarna os s nenegativnim polupravcem osi $ x,$ onda je veza između jednih i drugih koordinata dana formulama

$\displaystyle x=r\cos \varphi, \hspace{1cm}y=r\sin \varphi ,$

odnosno

% latex2html id marker 37838
$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2},\hspace{1cm}{\rm tg}\,\varphi=\frac{y}{x}.$

Primjer 2.7   Neka je dana točka $ T$ s Kartezijevim koordinatama $ (-\sqrt{3},-1).$ Naći polarne koordinate.

Rješenje.

% latex2html id marker 37845
$\displaystyle r=\sqrt{1+3}=2,\hspace{1cm}{\rm tg}\,\varphi=\frac{-1}{-\sqrt{3}}=
\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Odatle slijedi $ \varphi=\frac{\pi}{6}+k\pi,\;k\in Z.$ Budući da se točka nalazi u trećem kvadrantu, $ \varphi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,\;k\in Z.$

Primjer 2.8   U polarnom koordinatnom sustavu naći jednadžbu krivulje, koja u Kartezijevom sustavu ima jednadžbu $ x^2-y^2=1.$

Rješenje

$\displaystyle r^2\cos^2\varphi-r^2\sin^2\varphi=1,$

$\displaystyle r^2\cos 2\varphi=1,$

$\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{\cos 2\varphi}}.$

Cilindrični i sferni koordinatni sustav u prostoru


Cilindrični koordinatni sustav

Točka u prostoru je u cilindričnom sustavu dana s tri koordinate $ r,\varphi,z.$ Pri tom je $ r$ udaljenost projekcije $ T'$ točke $ T$ na ravninu $ xy$ od ishodišta, $ \varphi$ je kut što ga dužina $ \overline{OT'}$ zatvara s osi $ x,$ $ z$ ima isto značenje kao u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Figure 2.11: Cilindrični koordinatni sustav u prostoru.
\includegraphics{m2cilindsust.eps}

Iz ovoga proizlaze formule

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 37884
\begin{array}{lcl}
x=r\cos \va...
...=\frac{y}{r}\right) \\
z=z & \hspace{1cm} & z=z.
\end{array}\end{displaymath}

Osim toga vrijedi $ 0\leqslant r<\infty,$ $ 0\leqslant \varphi<2\pi,$ $ -\infty<z<\infty.$ Koordinatne plohe se dobiju kad se neka koordinata pretpostavi konstantnom. Tako za $ r=konst.$ imamo kružni cilindar, čija je os os $ z,$ osim u slučaju $ r=0$ kad se radi o osi $ z.$ Ploha $ \varphi=konst.$ je poluravnina okomita na ravninu $ xy,$ čiji je rub os $ z.$ Ploha $ z=konst.$ je ravnina paralelna s ravninom $ xy.$
% latex2html id marker 27810
\includegraphics{m2koravcil.eps}

Primjer 2.9   Točka $ (1,1,1)$ u kartezijevom koordinatnom sustavu ima u cilindričnom sustavu koordinate $ (\sqrt{2},\pi/4,1).$

Primjer 2.10   Jednokrilni kružni hiperboloid $ x^2+y^2-z^2=a^2$ ima u cilindričnom sustavu jednadžbu $ r^2-z^2=a^2.$


Sferni koordinatni sustav

Točka u prostoru je u sfernom sustavu dana s tri koordinate $ r,\vartheta,\varphi.$ Pri tom je $ r$ udaljenost točke $ T$ od ishodišta, $ \vartheta$ je kut što ga dužina $ \overline{OT}$ zatvara s osi $ z,$ $ \varphi$ je kut što ga projekcija $ \overline{OT'}$ dužine $ \overline{OT}$ na ravninu $ xy$ zatvara s osi $ x.$

Figure 2.12: Sferni koordinatni sustav u prostoru.
\includegraphics{m2sfersust.eps}

Iz ovoga proizlaze formule

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 37948
\begin{array}{lcl}
x=r\,\sin \...
...c{y}{x}\;\;\left(\sin \varphi=
\frac{y}{r}\right)
\end{array}\end{displaymath}

Osim toga vrijedi $ 0\leqslant r<\infty,$ $ 0\leqslant \vartheta\leqslant \pi,$ $ 0\leqslant \varphi<2\pi.$ Ploha $ r=konst.$ je sfera sa središtem u ishodištu i radiusom $ r.$ Ploha $ \varphi=konst.$ je poluravnina okomita na ravninu $ xy,$ čiji je rub os $ z.$ Ploha $ \vartheta=konst.$ je stožasta ploha čija je os os $ z,$ a kut izvodnice prema pozitivnom dijelu osi $ z$ je $ \vartheta.$
% latex2html id marker 27824
\includegraphics{m2koravsfer.eps}

Primjer 2.11   Točka $ (1,1,1)$ u kartezijevom koordinatnom sustavu ima u sfernom sustavu koordinate % latex2html id marker 37978
$ (\sqrt{3},{\rm Arccos}\,\frac{\sqrt{3}}{3},\pi/4).$

Primjer 2.12   Jednokrilni kružni hiperboloid $ x^2+y^2-z^2=a^2$ ima u sfernom sustavu jednadžbu $ r^2\sin^2\vartheta-r^2\cos^2\vartheta=a^2,$ tj.

$\displaystyle r^2=-\frac{a^2}{\cos 2\vartheta}.$

Računanje dvostrukih i trostrukih integrala supstitucijom

Polarni koordinatni sustav u ravnini

Oblik podintegralne funkcije ili oblik područja integracije nam neki puta sugeriraju prelazak iz Kartezijevog u neki drugi koordinatni sustav. Za definiciju dvostrukog i trostrukog integrala bile su važne površine pravokutnika $ I_{ij}$ i kvadra $ K_{ijk}.$ Pravokutnik $ I_{ij}$ je lik, koji se nalazi između koordinatnih linija $ x=x_{i-1},$ $ x=x_i,$ $ y=y_{j-1}$ i $ y=y_j.$ Tome u polarnom koordinatnom sustavu u ravnini odgovara lik omeđen koordinatnim linijama $ r=r_{i-1},$ $ r=r_i,$ $ \varphi=\varphi_{j-1}$ i $ \varphi=\varphi_j.$ To je lik kao na slici, s tim da smo upotrebili oznake $ r_i-r_{i-1}=\Delta r_i, \varphi_j-\varphi_{j-1}=\Delta
\varphi_j.$

\includegraphics{m2elpovpol.eps}
Površina tog lika je približno

$\displaystyle (r_i-r_{i-1})\,r_{i-1}\,(\varphi_j-\varphi_{j-1}) = r_{i-1}\,\Delta
r_i\,\Delta \varphi_i.$

Tako, ako želimo dvostruki integral računati prelaskom u polarni sustav u ravnini, onda koristimo formulu

$\displaystyle \iint_{\Omega}\,f(x,y)\,dx\,dy=
\iint_{\Delta} f(r\cos\varphi,r\sin\varphi)\,r\,dr\,d\varphi=
\iint_{\Delta} \Phi(r,\varphi)\,r\,dr\,d\varphi.$

Ovdje je $ \Delta$ isto područje, no kako se nalazimo u drugom koordinatnom sustavu, njegove su granice drugačije.

Primjer 2.13   Izračunati

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx.$

\includegraphics{m2gausserr.eps}

Rješenje. Prema jednom prethodnom primjeru

$\displaystyle I=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} e^{-x^2-y^2}\,dx\,dy=
\left(\int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2.$

Prelaskom na polarni sustav u ravnini imamo

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}d\varphi\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr=
\frac{\pi}{2}\int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr=\frac{\pi}{4}.$

Tako je

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$

Cilindrični koordinatni sustav

Kod definicije trostrukog integrala podjelu smo vršili na manje kvadre. Kvadar $ K_{ijk}$ je omeđen koordinatnim plohama $ x=x_{i-1},$ $ x=x_i,$ $ y=y_{j-1},$ $ y=y_j$ i $ z=z_{k-1},$ $ z=z_k.$ Takvom kvadru u cilindričnom koordinatnom sustavu u prostoru odgovara tijelo omeđeno koordinatnim plohama $ r=r_{i-1},$ $ r=r_i,$ $ \varphi=\varphi_{j-1},$ $ \varphi=\varphi_j$ i $ z=z_{k-1},$ $ z=z_k.$ To je tijelo prikazano na slici, gdje smo koristili sljedeće oznake $ r_i-r_{i-1}=\Delta r_i, \varphi_j-\varphi_{j-1}=\Delta \varphi_{j}, z_k-z_{k-1}=\Delta z_k$

\includegraphics{m2elvolcil.eps}
Volumen tog tijela je približno

$\displaystyle (r_i-r_{i-1})\,r_{i-1}\,(\varphi_j-\varphi_{j-1})(z_k-z_{k-1}) =
r_{i-1}\,\Delta r_i\,\Delta \varphi_{j}\,\Delta z_k.$

Tako, ako želimo trostruki integral računati prelaskom u cilindrični sustav u prostoru, onda koristimo formulu

$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=
\iiint_{\Delta}
f(r\cos\v...
...)\,r\,dr\,d\varphi\,dz=
\iiint_{\Delta} \Phi(r,\varphi,z)\,r\,dr\,d\varphi\,dz.$

Ovdje je $ \Delta$ isto područje, no kako se nalazimo u drugom koordinatnom sustavu, njegove su granice drugačije.

Primjer 2.14   Naći volumen tijela omeđenog plohama

$\displaystyle x^2+y^2+z^2=a^2,\quad x^2+y^2=ax.$

% latex2html id marker 27854
\includegraphics{m2printcil.eps}

Rješenje. Prelaskom u cilindrični koordinatni sustav imamo

$\displaystyle V=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int_0^{a\cos\varphi} r\,dr
\int_0^{a^2-r^2}dz=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}d\varphi\int_0^{a\cos\varphi}
r(a^2-r^2)\,dr=$

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}
\left(a^4\cos^2\varphi-\frac{1}{2}a^4\cos\varphi^4\right)\,d\varphi=
\frac{5}{16}a^4\pi.$

Sferni koordinatni sustav

Kvadru $ K_{ijk}$ u sfernom koordinatnom sustavu u prostoru odgovara tijelo omeđeno koordinatnim plohama $ r=r_{i-1},$ $ r=r_i,$ $ \vartheta=\vartheta_{j-1},$ $ \vartheta=\vartheta_j,$ $ \varphi=\varphi_{k-1},$ i $ \varphi=\varphi_k.$ To tijelo je dano na slici, gdje smo uveli oznake $ r_i-r_{i-1}=\Delta r_i, \vartheta_j-\vartheta_{j-1}=\Delta \vartheta_j, \varphi_k-\varphi_{k-1}=\Delta \varphi_k.$

\includegraphics{m2elvolsfer.eps}
Volumen tog tijela je približno

$\displaystyle (r_i-r_{i-1})\,r_{i-1}\,(\varphi_k-\varphi_{k-1})\,
r_{i-1}\sin\vartheta_{j-1}\,(\vartheta_j-\vartheta_{j-1})=$

$\displaystyle r_{i-1}^2\,\sin\vartheta_{j-1}\,(r_i-r_{i-1})\,(\vartheta_j-
\var...
...r_{i-1}^2\sin\vartheta_{j-1}\,\Delta r_i\,\Delta \vartheta_j\,\Delta \varphi_k.$

Tako, ako želimo trostruki integral računati prelaskom u sferni koordinatni sustav u prostoru, onda koristimo formulu

$\displaystyle \iiint_{\Omega}\,f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=$

$\displaystyle \iiint_{\Delta}
f(r\sin\vartheta\cos\varphi,r\sin\vartheta\sin\varphi,r\cos\vartheta)\,
r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi=$

$\displaystyle \iiint_{\Delta} \Phi(r,\vartheta,\varphi)\,
r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi.$

Ovdje je $ \Delta$ isto područje, no kako se nalazimo u drugom koordinatnom sustavu, njegove su granice drugačije.

Primjer 2.15   Volumen kugle radiusa $ R$ je

$\displaystyle V=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\vartheta\int_0^R r^2\sin\var...
...varphi\int_0^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta\int_0^R r^2\,dr=
\frac{4}{3}R^3\pi.$

Jacobijan

U gornjim razmatranjima smo za računanje integrala u novom koordinatnom sustavu trebali naći formulu za površinu odnosno volumen u novom koordinatnom sustavu. Ako je dana općenita transformacija u novi koordinatni sustav u ravnini, na pr.

$\displaystyle x=\varphi(u,v),\hspace{1cm}y=\psi(u,v),$

onda se faktor, kojim pod integralom treba množiti $ du\,dv$ računa kao apsolutna vrijednost determinante

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 38114
J=\left\vert
\begin{array}{cc}
...
...ray}\right\vert = \frac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}.\end{displaymath}

Da bismo objasnili zašto se pojavljuje taj faktor, uočimo lik koji je omeđen koordinatnim linijama $ u=u, u=u+\Delta u, v=v, v=v+\Delta
v.$

\includegraphics{m2elpovopc.eps}
Njegovi vrhovi su točke

$\displaystyle P_1 = (\varphi(u,v), \psi(u,v)),\quad P_2 = (\varphi(u+\Delta u,v),
\psi(u+\Delta u,v))$

$\displaystyle P_3 = (\varphi(u+\Delta u,v+\Delta v),
\psi(u+\Delta u,v+\Delta v)),\quad P_4 = (\varphi(u,v+\Delta v),
\psi(u,v+\Delta v)).$

Površinu ovog lika ćemo izračunati približno, tako da izračunamo površinu paralelograma čiji su vrhovi

$\displaystyle {P_1}' = P_1,\quad {P_2}' = (\varphi(u,v)
+\frac{\partial\varphi}{\partial u}\,\Delta u, \psi(u,v)
+\frac{\partial\psi}{\partial u}\,\Delta u)$

$\displaystyle {P_3}' =
(\varphi(u,v) +\frac{\partial\varphi}{\partial u}\,\Delt...
...}{\partial v}\,\Delta v, \psi(u,v)
+\frac{\partial\psi}{\partial v}\,\Delta v).$

Taj paralelogram je razapet vektorima $ \overrightarrow{{P_1}'{P_2}'}$ i $ \overrightarrow{{P_1}'{P_4}'}.$ čije su komponente

$\displaystyle \left(\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle{\partial
u}}...
...,\frac{\textstyle{\partial
\psi}}{\textstyle{\partial v}}\,\Delta v,\,0\right).$

Njegova je površina jednaka duljini vektorskog produkta tih vektora, a to je apsolutna vrijednost sljedeće determinante

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 38133
\left\vert
\begin{array}{cc}
\...
...rac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}\,\Delta u\,\Delta v.\end{displaymath}

Primjer 2.16   Naći površinu lika koji omeđuje elipsa $ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

Rješenje. Uvedimo novi koordinatni sustav u ravnini

$\displaystyle x=a\,r\cos\varphi,\hspace{1cm}y=b\,r\sin\varphi,$

$\displaystyle 0\leqslant r\leqslant 1,\hspace{1cm}0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi.$

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 38142
J=
\left\vert
\begin{array}{cc}...
... b\sin\varphi & b\,r\cos\varphi
\end{array}\right\vert=a\,b\,r.\end{displaymath}

$\displaystyle P=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^1 a\,b\,r\,dr=a\,b\,\pi.$

Ako je dana općenita transformacija u novi koordinatni sustav u prostoru, na pr.

$\displaystyle x=\varphi(u,v,w),\hspace{.5cm}y=\psi(u,v,w),\hspace{.5cm}
z=\chi(u,v,w),$

onda se faktor, kojim pod integralom treba množiti $ du\,dv\,dw$ računa kao apsolutna vrijednost determinante

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 38150
J=\left\vert
\begin{array}{ccc}...
...ght\vert = \frac{\partial(\varphi,\psi,\chi)}{\partial(u,v,w)}.\end{displaymath}

Determinanta $ J$ se zove Jacobijan.

Objašnjenje je slično onome kod istog problema za dvije varijable. Sada su ključne točke

$\displaystyle P_1=(\varphi,\,\psi,\,\chi),\;\;\;
P_2=\left(\varphi
+\frac{\tex...
...hi
+\frac{\textstyle{\partial
\chi}}{\textstyle{\partial u}}\,\Delta u\right),$

$\displaystyle P_3=\left(\varphi
+\frac{\textstyle{\partial
\varphi}}{\textstyle...
...\chi+\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial
v}}\,\Delta v\right),$

$\displaystyle P_4=\left(\varphi +\frac{\textstyle{\partial
\varphi}}{\textstyle...
...\chi+\frac{\textstyle{\partial \chi}}{\textstyle{\partial
w}}\,\Delta w\right).$

Vektori $ \overrightarrow{P_1P_2},\,
\overrightarrow{P_1P_3}$ i $ \overrightarrow{P_1P_4}$ imaju komponente

$\displaystyle \left(\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle{\partial
u}}...
... v,\,\frac{\textstyle{\partial
\chi}}{\textstyle{\partial v}}\,\Delta v\right),$

$\displaystyle \left(\frac{\textstyle{\partial \varphi}}{\textstyle{\partial
w}}...
... w,\,\frac{\textstyle{\partial
\chi}}{\textstyle{\partial w}}\,\Delta w\right).$

Apsolutna vrijednost mješovitog produkta tih vektora daje upravo volumen paralelepipeda koji je s njima razapet, a to je približno ono što tražimo.

Primjer 2.17   Naći volumen tijela omeđenog elipsoidom

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Rješenje. Stavimo

$\displaystyle x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\,r\sin \vartheta\cos \varphi$  
$\displaystyle y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\,r\sin \vartheta\sin \varphi$  
$\displaystyle z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\,r\cos \vartheta$  

$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=r^2,$ pa je elipsoid u zadatku koordinatna ploha $ r=1.$ Jacobijan je

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 38194
J=\left\vert
\begin{array}{ccc}...
...vartheta & 0
\end{array}\right\vert=a\,b\,c\,r^2\sin\vartheta.\end{displaymath}

Dakle

$\displaystyle V=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi}d\vartheta\int_0^1
abcr^2\sin\vartheta\,dr=\frac{4}{3}a\,b\,c\,\pi.$

Pitanja

1.
Opišite cilindrični i sferni koordinatni sustav u prostoru.
2.
Kako izgleda formula za integriranje u polarnom koordinatnom sustavu u ravnini? Objasnite.
3.
Kako izgleda formula za integriranje u cilindričnom koordinatnom sustavu u prostoru? Objasnite.
4.
Kako izgleda formula za integriranje u sfernom koordinatnom sustavu u prostoru? Objasnite.
5.
Objasnite što je Jacobijan, kako se računa i koja je njegova uloga prilikom integriranja.

Riješeni zadaci

1.
Naći površinu lika što ga omeđuje asteroida

$\displaystyle \left(\frac{x}{a}\right)^{2/3}+\left(\frac{y}{a}\right)^{2/3}=1.$

Figure 2.13: Lik omeđen asteroidom.
% latex2html id marker 27896
\includegraphics{m2prastero.eps}

Uvedimo novi koordinatni sustav u ravninu

$\displaystyle x=a\,r\cos^3\varphi,\hspace{1cm}y=a\,r\sin^3\varphi.$

Područje koje omeđuje asteroida je u tim koordinatama dano s

$\displaystyle 0\leqslant r\leqslant 1,\hspace{1cm}0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi.$

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 38215
\left\vert
\begin{array}{cc}
a...
...os\varphi
\end{array}\right\vert=\frac{3}{4}a^2r\sin^22\varphi.\end{displaymath}

$\displaystyle P=\frac{3}{4}a^2\int_0^{2\pi}\sin^22\varphi\,d\varphi\int_0^1 r\,dr=
\frac{3}{8}a^2\pi.$

2.
Naći masu tijela omeđenog plohama

$\displaystyle x^2+y^2+z^2=R^2,\quad x^2+z^2=y^2,\quad y\geqslant 0,$

ako je gustoća mase $ \rho(x,y,z)=1+\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$
% latex2html id marker 27900
\includegraphics{m2prmasasfer.eps}

Rješenje. Taj zadatak je ekvivalentan zadatku u kojem je $ x^2+z^2=y^2$ zamijenjeno s $ x^2+y^2=z^2.$ Na slici se ta zamjena realizira tako da osi $ z,x,y$ postaju redom osi $ x,y,z.$ U tom slučaju granice integracije su jednostavnije.

$\displaystyle M=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^{\pi/4}d\vartheta\int_0^R
(1+r)r^2\sin\vartheta\,dr=$

$\displaystyle 2\pi\int_0^{\pi/4}\sin\vartheta\,d\vartheta\int_0^R
(r^2+r^3)\,d...
... \,\pi \,{R^3}}{3}} +
{\frac{\left( 2 - {\sqrt{2}} \right) \,\pi \,{R^4}}{4}}.$


next up previous contents index
Next: Primjene integrala Up: Višestruki integrali Previous: Trostruki integral   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11