Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Derivacije funkcija više varijabli Up: Diferencijalni račun Previous: Funkcije više varijabli   Contents   Index

Subsections

Neprekidnost i limes funkcija više varijabli

Neprekidnost funkcija više varijabli

Neprekidnost funkcije

Definicija 7   Neka je $ \Omega$ područje u $ R^n.$ Kažemo da je $ f:\Omega\rightarrow R$ neprekidna u točki $ P_0\in
\Omega$, ako za svaki $ \varepsilon >0$ postoji $ \delta >0$ tako da

$\displaystyle (d(P,P_0)<\delta )\Rightarrow (\vert f(P)-f(P_0)\vert<\varepsilon).$

Ako $ f$ nije neprekidna u točki $ P_0\in \Omega,$ onda kažemo da $ f$ ima prekid u $ P_0$.

Ako je $ f$ neprekidna u svakoj točki nekog skupa $ S,$ onda kažemo da je $ f$ neprekidna na skupu $ S$.

Na sljedećim slikama se vidi tipično ponašanje funkcije u okolini točke neprekidnosti, i točke prekida. Svjetlo osjenčani skup u ravnini $ x\,y$ je ortogonalna projekcija onog dijela grafa funkcije $ f,$ koji se nalazi između ravnina $ z=f(P_0)-\varepsilon$ i $ z=f(P_0)+\varepsilon.$ Dakle, ako je $ P$ iz tog skupa, onda vrijedi

$\displaystyle f(P_0)-\varepsilon < f(P) < f(P_0)+\varepsilon,$

odnosno

$\displaystyle \vert f(P)-f(P_0)\vert<\varepsilon.$

Na slici 1.9 tamnije osjenčani skup je krug radiusa $ \delta $ oko točke $ P_0.$ Na lijevom dijelu slike se vidi da se za odabrani $ \varepsilon$ može naći $ \delta >0$ takav da krug oko $ P_0$ s tim radiusom leži u svjetlije osjenčanom skupu. S druge strane, na desnom dijelu slike nije moguće naći takav $ \delta.$ Ma kako malen krug izabrali, uvijek ima točaka u njemu koje su izvan svjetlije osjenčanog skupa. U tim točkama vrijednost funkcije se više ne nalazi između ravnina. Pri tom valja naglasiti da se to događa za svaki $ \varepsilon>0.$

Figure 1.9: Ponašanje funkcije u okolini točke neprekidnosti i točke prekida.
% latex2html id marker 26928
\includegraphics{m2neprfja.eps} % latex2html id marker 26930
\includegraphics{m2prekfja.eps}

Primjer 1.11   Funkcija $ f(x,y)=c$ je neprekidna u svakoj točki u $ R^2.$ Rješenje. Neka je $ (x_0,y_0)\in R^2$ proizvoljna točka, i neka je $ \varepsilon >0$ proizvoljan.

$\displaystyle \vert f(x,y)-f(x_0,y_0)\vert=\vert c-c\vert=0<\varepsilon .$

Ova nejednakost je ispunjena za svaki $ (x,y)\in R^2,$ pa za bilo koji $ \delta >0$ vrijedi

$\displaystyle (d((x,y),(x_0,y_0))<\delta ) \Rightarrow
(\vert f(x,y)-f(x_0,y_0)\vert<\varepsilon ).$

Tako je $ f$ neprekidna u točki $ (x_0,y_0).$ Budući da je točka $ (x_0,y_0)$ uzeta proizvoljno, slijedi da je $ f$ neprekidna u svakoj točki.

Primjer 1.12   Funkcija $ f(x,y)=x$ je neprekidna u svakoj točki u $ R^2.$ Rješenje. Neka je $ (x_0,y_0)\in R^2$ proizvoljna točka, i neka je $ \varepsilon >0$ proizvoljan.

$\displaystyle \vert f(x,y)-f(x_0,y_0)\vert=\vert x-x_0\vert<\varepsilon .$

Uzmimo $ \delta >0$ tako da je $ \delta \leqslant\varepsilon$ (sl. 1.10) Tada iz

$\displaystyle \vert x-x_0\vert \leqslant d((x,y),(x_0,y_0))=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$

slijedi

$\displaystyle \vert f(x,y)-f(x_0,y_0)\vert<\delta{}\leqslant{}\varepsilon.$

Tako je $ f$ neprekidna u točki $ (x_0,y_0).$ Kako je $ (x_0,y_0)$ izabrana proizvoljno, slijedi da je $ f$ neprekidna u svakoj točki.

Figure 1.10: Mogući $ \delta $ za izabrani $ \varepsilon .$
\includegraphics{m2str10.eps}

Primjer 1.13   Funkcija $ f(x,y)=y$ je neprekidna u svakoj točki u $ R^2.$ Rješenje. Neka je $ (x_0,y_0)\in R^2$ proizvoljna točka, i neka je $ \varepsilon >0$ proizvoljan.

$\displaystyle \vert f(x,y)-f(x_0,y_0)\vert=\vert y-y_0\vert<\varepsilon .$

Dakle za svaki $ \delta \leqslant\varepsilon$ vrijedi

$\displaystyle (\vert y-y_0\vert \leqslant d((x,y),(x_0,y_0))=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta )$

$\displaystyle \Rightarrow (\vert f(x,y)-f(x_0,y_0)\vert<\varepsilon ).$

Tako je $ f$ neprekidna u točki $ (x_0,y_0).$ Budući da je ta točka proizvoljna, slijedi da je $ f$ neprekidna u svakoj točki.

Svojstva neprekidnih funkcija

Teorem 1   Neka je $ \Omega$ područje u $ R^n,$ i neka je $ f:\Omega\rightarrow R$ neprekidna u točki $ P_0.$
1.
Tada postoji $ \delta >0$ takav da je $ f\vert K(P_0;\delta)$ ograničena.
2.
Neka je osim toga $ f(P_0)>0.$ Tada postoji $ \delta >0$ takav da je $ f(P)>0$ za svaki $ P\in K(P_0;\delta).$

Dokaz. $ \heartsuit$

Figure 1.11: a) Neprekidna funkcija je lokalno ograničena. b) U okolini točke prekida funkcija ne mora biti ograničena.
\includegraphics{m2ogrnepfje.eps}

Na slici 1.11 se lijevo nalazi graf neprekidne funkcije, a desno graf funkcije koja ima prekid u točkama za koje je $ y=y_0.$ Pri tom je taj prekid takav da $ f(x_0,y)\rightarrow\infty,$ kad $ y\rightarrow y_0$ preko vrijednosti manjih od $ y_0.$ To znači da ne postoji krug $ K$ oko točke $ P_0$ takav da bude $ f(x,y)\leqslant{}M$ za svaki $ (x,y)\in K,$ ma kako veliki $ M$ uzeli.

Teorem 2   Neka su $ f$ i $ g$ neprekidne u točki $ P_0.$
1.
Tada je $ \lambda f$ neprekidna u točki $ P_0.$
2.
Tada je $ f\pm g$ neprekidna u točki $ P_0.$
3.
Tada je $ f\,g$ neprekidna u točki $ P_0.$
4.
Tada je $ \displaystyle\frac{f}{g}$ neprekidna u točki $ P_0,$ uz uvjet da je $ g(P_0)\neq 0.$

Dokaz. Dokažimo drugu tvrdnju i to za zbroj.
Za proizvoljan $ \varepsilon >0$ postoje $ \delta_1>0$ i $ \delta_2>0$ takvi da vrijedi

$\displaystyle (d(P,P_0)<\delta_1 )\Rightarrow (\vert f(P)-f(P_0)\vert<\frac{\varepsilon}{2})$

i

$\displaystyle (d(P,P_0)<\delta_2)\Rightarrow (\vert g(P)-g(P_0)\vert<\frac{\varepsilon}{2}).$

Ako za $ \delta $ uzmemo manji od brojeva $ \delta_1,\delta_2,$ tj. $ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\},$ onda vrijedi

$\displaystyle (d(P,P_0)<\delta )\Rightarrow
(\vert(f+g)(P)-(f+g)(P_0)\vert=\vert f(P)-f(P_0)+g(P)-g(P_0)\vert$

$\displaystyle \leqslant \vert f(P)-f(P_0)\vert+\vert g(P)-g(P_0)\vert<\frac{\varepsilon}{2}+
\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon).$

$ \heartsuit$

Teorem 3   Neka je $ f:\Omega\rightarrow R$ neprekidna u točki $ P_0,$ neka je $ f(\Omega)\subset J$ i neka je $ g:J\rightarrow R$ neprekidna u $ f(P_0).$ Tada je funkcija $ h=g\circ f$ neprekidna u $ P_0.$

Figure 1.12: Kompozicija funkcija.
\includegraphics{m2kompofja.eps}

Dokaz. $ \heartsuit$

Primjer 1.14   Funkcija $ f(x,y)=x^2$ je neprekidna u svakoj točki u $ R^2,$ jer je produkt dvije svuda neprekidne funkcije.

Funkcija $ f(x,y)=x^n$ je neprekidna u svakoj točki u $ R^2,$ jer je produkt neprekidnih funkcija.

Polinom od dvije ili više varijabli je neprekidna funkcija svuda.

Racionalna funkcija je neprekidna svuda gdje je definirana, tj. svuda osim u nultočkama nazivnika.

Kompozicije elementarnih funkcija i polinoma ili racionalnih funkcija od više varijabli jesu neprekidne funkcije svuda gdje su definirane.Tako na pr. % latex2html id marker 34494
$ \frac{\sqrt{x^2-y^2}}{\ln
xy},{\rm Arcsin}\,\,\frac{2x-4y-4}{x^2+y^2},\ldots.$ su neprekidne funkcije na svojim domenama.

Limes funkcija više varijabli

Limes funkcije

Definicija 8   Neka je funkcija $ f$ definirana na području $ \Omega\subset R^n$ osim možda u točki $ P_0\in \Omega.$ Kažemo da $ f$ ima limes L u točki $ P_0$ ako za svaki $ \varepsilon >0$ postoji $ \delta >0$ tako da

$\displaystyle (0<d(P,P_0)<\delta )\Rightarrow (\vert f(P)-L\vert<\varepsilon ).$

Pišemo $ L=\lim_{P\rightarrow P_0}f(P).$

Kao što pokazuje sljedeća slika, funkcija može biti definirana u točki $ P_0,$ i da ima limes u $ P_0$ koji nije jednak vrijednosti funkcije u točki $ P_0.$ Na slici je graf funkcije

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 34523
f(x,y)=
\begin{cases}
1, & \te...
...\neq (0,0), \\
0, & \text{ako je $(x,y)=(0,0).$}
\end{cases}\end{displaymath}

Ta funkcija ima vrijednost $ 1$ u svakoj točki osim u ishodištu, gdje je njezina vrijednost $ 0.$ Iz definicije slijedi da limes u ishodištu postoji i da je jednak $ 1.$
\includegraphics{m2limes.eps}

Teorem 4   1. Neka je $ f:\Omega\rightarrow R$ neprekidna u točki $ P_0.$ Tada $ f$ ima limes u $ P_0$ i $ \lim_{P \rightarrow P_0} f(P)=f(P_0).$

2. Neka $ f$ ima limes u $ P_0$ i neka je $ \lim_{P \rightarrow P_0} f(P)=f(P_0).$ Tada je $ f$ neprekidna u $ P_0.$

Dokaz. 1. Ako je $ f$ neprekidna u točki $ P_0,$ onda $ \forall \varepsilon >0$ postoji $ \delta >0$ tako da

$\displaystyle (d(P,P_0)<\delta)\Rightarrow(\vert f(P)-f(P_0)\vert<\varepsilon),$

pa pogotovo

$\displaystyle (0<d(P,P_0)<\delta)\Rightarrow(\vert f(P)-f(P_0)\vert<\varepsilon).$

Odatle slijedi da $ f$ ima limes u točki $ P_0$ i $ \lim_{P \rightarrow P_0} f(P)=f(P_0).$

ii) Neka $ f$ ima limes u točki $ P_0$ i neka je $ \lim_{P \rightarrow P_0} f(P)=f(P_0).$ To znači da $ \forall \varepsilon >0$ postoji $ \delta >0$ tako da

$\displaystyle (0<d(P,P_0)<\delta)\Rightarrow(\vert f(P)-f(P_0)\vert<\varepsilon).$

Specijalno za $ 0=d(P,P_0),$ tj. za $ P=P_0$ je $ \vert f(P)-f(P_0)\vert=0<\varepsilon,$ pa slijedi

$\displaystyle (d(P,P_0)<\delta)\Rightarrow(\vert f(P)-f(P_0)\vert<\varepsilon),$

tj. funkcija je neprekidna u točki $ P_0.$ $ \heartsuit$

Primjer 1.15   Tako na pr.

% latex2html id marker 34596
$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (2,0)}{\rm Arcsin}\,\frac{2x-4y-4}{x^2+y^2}=0,$

jer je ova funkcija neprekidna u točki $ (2,0),$ pa se limes nalazi jednostavnim uvrštavanjem.

Svojstva limesa

Ako postoji $ \lim_{P \rightarrow P_0} f(P),$ onda je on jedinstven.

Neka funkcije $ f$ i $ g$ imaju limese u točki $ P_0.$ Tada

1.
$ f\pm g$ ima limes u točki $ P_0$ i

$\displaystyle \lim_{P \rightarrow P_0} (f\pm g)(P)=
\lim_{P \rightarrow P_0} f(P)\pm \lim_{P \rightarrow P_0} g(P),$

2.
za $ \lambda \in R,$ $ \lambda f$ ima limes u točki $ P_0$ i

$\displaystyle \lim_{P \rightarrow P_0} (\lambda f)(P)=
\lambda \lim_{P \rightarrow P_0} f(P),$

3.
$ fg$ ima limes u točki $ P_0$ i

$\displaystyle \lim_{P \rightarrow P_0} (f\,g)(P)=
\lim_{P \rightarrow P_0} f(P) \lim_{P \rightarrow P_0} g(P).$

4.
Uz dodatni uvjet $ g(P_0)\neq 0$ i $ \lim_{P \rightarrow P_0} g(P)
\neq 0,$ $ \frac{f}{g}$ ima limes u točki $ P_0$ i

$\displaystyle \lim_{P \rightarrow P_0} \left(\frac{f}{g}\right)(P)=
\frac{ \lim_{P \rightarrow P_0} f(P)}{ \lim_{P \rightarrow P_0} g(P)}.$

Primjeri

Primjer 1.16  

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}=0.$

Rješenje. Zaista, iz $ (x+y)^2\geqslant 0$ slijedi

$\displaystyle \frac{x\,y}{x^2+y^2}\geqslant -\frac{1}{2}.$

Slično iz $ (x-y)^2\geqslant 0$ slijedi

$\displaystyle \frac{x\,y}{x^2+y^2}\leqslant\frac{1}{2}.$

Tako je

$\displaystyle 0\leqslant\left\vert\frac{x^2\,y}{x^2+y^2}\right\vert\leqslant\frac{1}{2}\vert x\vert,$

i odatle je jasno da gornji limes postoji i da je jednak $ 0.$
\includegraphics{m2str12.eps}

Primjer 1.17  

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x\,y}{x^2+y^2}$

ne postoji.

Rješenje. Premda je

$\displaystyle \lim_{y \rightarrow 0}\,\left(\lim_{x \rightarrow 0}\,
\frac{x\,y}{x^2+y^2}\right)=0,$

i

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\left(\lim_{y \rightarrow 0}\,
\frac{x\,y}{x^2+y^2}\right)=0,$

ipak, ako stavimo $ y=k\,x,$ onda $ (x,y)\rightarrow (0,0)$ čim $ x
\rightarrow 0,$ i tada je

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x\,y}{x^2+y^2}=
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{k\,x^2}{x^2+k^2\,x^2}=
\frac{k}{1+k^2}.$

Za različite $ k$ dobivamo različite limese, što znači da

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x\,y}{x^2+y^2}$

zapravo ne postoji.

Dapače, može se dogoditi da limesi po svim pravcima postoje i da su jednaki, a da limes ipak ne postoji, kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer 1.18   Neka je

% latex2html id marker 34680
$\displaystyle f(x,y)=\left\{ \begin{array}{rl}
1, & \text{ako je $y=x^2$} \\
0, & \text{inače.}
\end{array}
\right. $

Graf te funkcije je dan na sljedećoj slici
% latex2html id marker 27040
\includegraphics{m2limespr.eps}
Tada po svakom pravcu kroz ishodište limes u $ (0,0)$ je jednak $ 0.$ Ipak, ako se ishodištu približavamo po krivulji $ y=x^2,$ onda je vrijednost funkcije stalno jednaka $ 1,$ pa je i limes jednak $ 1.$

Ovi primjeri pokazuju da traženje limesa funkcije više varijabli nije lagan posao, i da se ne smije na osnovi postojanja sukcesivnih limesa ili limesa po određenim putevima, bez dodatnih informacija ništa zaključivati. Ipak, imamo jednu jednostavnu metodu kojom u nekim slučajevima možemo naći limes funkcije od dvije varijable. Ideja se sastoji u tome da točku u kojoj se traži limes shvatimo kao pol polarnog koordinatnog sustava u ravnini. Nakon zamjene koordinata dovoljno je zahtijevati da $ r$ teži k $ 0.$

Primjer 1.19  

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=?$

Rješenje.

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=
\lim_{r \...
...\sin^3\varphi}{r^2}=
\lim_{r \rightarrow 0}\, r(\cos^3\varphi+\sin^3\varphi)=0.$

Primjer 1.20  

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (2,1)}\frac{1 - 4\,x + {x^2} + 6\,y - 3\,{y^2}}{5 - 4\,x + {x^2} - 2\,y + {y^2}}=?$

Rješenje. Stavimo

$\displaystyle x=2+r\,\cos\varphi,\;\;y=1+r\,\sin\varphi.$

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (2,1)}\frac{1 - 4\,x + {x^2} + 6\,y - 3\,{y^2}}
{5 - 4\,x + {x^2} - 2\,y + {y^2}}=$

$\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0}\,\frac{{r^2}\,{{\cos^2 \varphi}} -
3\,{r^...
...hi}}}= \lim_{r \rightarrow 0}\,(-1 + 2\,\cos
2\varphi) = -1 + 2\,\cos 2\varphi.$

Za različite $ \varphi$ dobivamo različite rezultate. Dakle limes ne postoji.

Dakako, možemo koristiti poznate limese funkcija jedne varijable.

Primjer 1.21  

$\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin x(y-1)}{x}=
\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (y-1)\frac{\sin x(y-1)}{x(y-1)}$

$\displaystyle =\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} (-1)\,\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}
\frac{\sin x(y-1)}{x(y-1)}=-1.$

Pitanja

1.
Definirajte neprekidnost funkcije više varijabli u točki.
2.
Što znači kad kažemo da je funkcija neprekidna na skupu, a što kad se kaže da ima prekid na skupu?
3.
Koja su svojstva funkcija neprekidnih u točki?
4.
Što se može reći o neprekidnosti elementarnih funkcija više varijabli?
5.
Definirajte limes funkcije više varijabli u točki.
6.
Koja svojstva ima limes?
7.
Iskažite teorem koji govori o vezi između neprekidnosti i limesa.
8.
Da li se limes može računati tako da se sukcesivno računaju limesi po pojedinim varijablama?

Riješeni zadaci

1.
Ispitajte da li su sljedeće funkcije neprekidne u točki $ (0,0).$ $ f(x,y)=$

a) \begin{displaymath}
% latex2html id marker 34732\begin{cases}
\frac{x^4-y^4}{...
...x,y)\neq (0,0)\\
0 & \quad \text{za }(x,y)=(0,0)
\end{cases}.\end{displaymath}

Rješenje. a) Očito je

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)} \frac{x^4-y^4}{x^2+y^2} =
\lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)} x^2-y^2 = 0.$

b) Ako pređemo na polarni sustav,

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)} \frac{x^2\,y}{x^4+y^4} =
\lim_{r\r...
...4\,{{\cos^2 \varphi}}\,\sin \varphi}
{r\,\left( 3 + \cos 4\,\varphi \right) }},$

pa nepostoji limes, jer $ f$ teži u beskonačnost po gotovo svim putevima u ishodište. Nađite puteve u ishodište po kojima postoje konačni limesi.

2.
Nađite sljedeće limese, ako postoje
(a)
$ \lim_{(x,y)\rightarrow{}(\infty{},\infty{})}\frac{x+y}{x^2-x\,y+y^2},$
(b)
$ \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,a)}\frac{\sin x\,y}{x},$
(c)
$ \lim_{(x,y)\rightarrow{}(\infty{},\infty{})}
(x^2+y^2)\,e^{-(x+y)},$
(d)
$ \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)}
\frac{a-\sqrt{a^2-x\,y}}{x\,y}$

Rješenje. a)

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(\infty{},\infty{})}\frac{x+y}{x^2-x\,y+y...
... {\frac{\cos \varphi + \sin \varphi}
{r - {\frac{r\,\sin 2\,\varphi}{2}}}} = 0,$

b)

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,a)} \frac{\sin x\,y}{x} =
\lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,a)} y\,\frac{\sin x\,y}{x\,y} = a,$

c)

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(\infty{},\infty{})} (x^2+y^2)\,e^{-(x+y)...
...i + r\,\sin
\varphi}}\, {{\left( \cos \varphi + \sin \varphi \right) }^2}} =
0,$

d)

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)} \frac{a-\sqrt{a^2-x\,y}}{x\,y} =
\...
... =
\lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)} \frac{1}{a+\sqrt{a^2-x\,y}} =
\frac{1}{2\,a}.$

3.
Da li je moguće definirati funkciju

$\displaystyle f(x,y) = \frac{1}{\ln (x^2+y^2)}$

u $ (0,0),$ tako da dobivena funkcija bude neprekidna.

Rješenje. Imamo

$\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow{}(0,0)} \frac{1}{\ln (x^2+y^2)} =
\lim_{r\rightarrow{}0} \frac{1}{2\,\ln r} = 0.$

Ako stavimo

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 34766
f(x,y) =
\begin{cases}
\frac{1...
...quad (x,y)\neq (0,0)\\
0, & \quad (x,y) = (0,0)
\end{cases},
\end{displaymath}

onda je $ f,$ prema teoremu 4, neprekidna u $ (0,0).$


next up previous contents index
Next: Derivacije funkcija više varijabli Up: Diferencijalni račun Previous: Funkcije više varijabli   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11