Make your own free website on Tripod.com
next up previous contents index
Next: Funkcije kompleksne varijable Up: Obične diferencijalne jednadžbe Previous: Linearna diferencijalna jednadžba 2.   Contents   Index

Subsections

Metoda varijacije konstanti. Linearne diferencijalne jednadžbe višeg reda

Metoda varijacije konstanti

Pretpostavimo da je

$\displaystyle y=C_1y_1+C_2y_2$ (6.41)

opće rješenje pripadne homogene jednadžbe (6.33). Da dobijemo opće rješenje nehomogene jednadžbe (6.32) potrebno nam je jedno partikularno rješenje jednadžbe (6.32). Sljedeći teorem govori o tome kako se partikularno rješenje jednadžbe (6.32) može dobiti pomoću (6.41) varirajući konstante $ C_1$ i $ C_2$.

Teorem 34   Neka je $ (y_1,y_2)$ fundamentalni sustav rješenja diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle y''+p(x)\,y'+q(x)\,y=0$

i neka su $ C_1,C_2$ funkcije klase $ C^2(I)$ takve da zadovoljavaju sustav jednadžbi

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 43868
\begin{split}C'_1(x)\,y_1(x)+C'...
...(x)\,y'_2(x) & = f(x),\hspace{.5in} \forall x\in I. \end{split}\end{displaymath} (6.42)

Tada je

$\displaystyle u(x)=C_1(x)\,y_1(x)+C_2(x)\,y_2(x)$ (6.43)

rješenje jednadžbe (6.32).

Dokaz.

$\displaystyle u=C_1\,y_1+C_2\,y_2$

$\displaystyle u'=C_1\,y'_1+C_2\,y'_2+C'_1\,y_1+C'_2\,y_2=C_1\,y'_1+C_2\,y'_2$

$\displaystyle u''=C_1\,y''_1+C_2\,y''_2+C'_1\,y'_1+C'_2\,y'_2=C_1\,y''_1+C_2\,y''_2+f,$

pa je

$\displaystyle u''+p(x)\,u'+q(x)\,u=
C_1(y''_1+p(x)\,y'_1+q(x)\,y_1)+C_2(y''_2+p(x)\,y'_2+q(x)\,y_2)+f=f.$

Dakle $ u$ je zaista rješenje jednadžbe (6.32) i time je teorem dokazan. $ \heartsuit$

Da bismo dobili partikularno rješenje (6.43) potrebno je naći funkcije $ C_1(x)$ i $ C_2(x)$. Budući da su $ y_1,y_2$ linearno nezavisne, determinanta matrice sustava (6.42) (Wronskijan) je različita od nule, pa u tom slučaju imamo jedinstveno rješenje:

$\displaystyle C'_1(x)=\frac{-f(x)\,y_2(x)}{W(x)},\hspace{.5in}
C'_2(x)=\frac{f(x)\,y_1(x)}{W(x)}$

i odatle

$\displaystyle C_1(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{-f(\xi )\,y_2(\xi )}{W(\xi )}\,d\xi ,\;\;\; C_2(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{f(\xi )\,y_1(\xi )}{W(\xi )}\,d\xi .$ (6.44)

Pomoću formula (6.44), uz poznate $ y_1$ i $ y_2$, možemo naći partikularno rješenje $ u=C_1\,y_1+C_2\,y_2.$

Primjer 6.12   Treba naći opće rješenje jednadžbe

$\displaystyle y''+y=\frac{1}{\sin x},\hspace{.5in} x\in \langle 0,\pi \rangle.$

Rješenje. Najprije rješavamo pripadnu homogenu jednadžbu

$\displaystyle y''+y=0.$ (6.45)

$\displaystyle \lambda ^2+1=0, \qquad \lambda _1=i,\quad \lambda _2=-i,$

pa je fundamentalni sustav rješenja

$\displaystyle e^{ix}, e^{-ix}.$

Iz Eulerove formule (7.1) slijedi

$\displaystyle \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\;\;\;\cos x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2},$

pa su

$\displaystyle \sin x,\;\;\; \cos x$ (6.46)

također rješenja jednadžbe (6.45). Zatim

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 43913
W(x)=\left\vert
\begin{array}{r...
...cos x \\
\cos x & -\sin x
\end{array}\right\vert = -1\neq 0,\end{displaymath}

pa je (6.46) također fundamentalni sustav rješenja. Tako po formulama (6.44) imamo

$\displaystyle C_1(x)=\int_{x_0}^{x}\frac{\cos \xi }{\sin \xi }\,d\xi ,
\hspace{.5in} C_2(x)=-\int_{x_0}^x \,d\xi .$

Odatle, za $ x_0=\frac{\pi}{2}$,

$\displaystyle C_1(x)=\ln \,\sin x,\hspace{.5in} C_2(x)=\frac{\pi }{2}-x.$

Opće rješenje je

$\displaystyle y(x)=C_1\,\sin x +C_2\,\cos x+\sin x \,\ln \,\sin
x+\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,\cos x,$

tj.

$\displaystyle y(x)=D_1\,\sin x+D_2\,\cos x+\sin x \,\ln \,\sin x-x\,\cos x.$

Linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda

Neka su $ a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1},f$ neprekidne realne funkcije definirane na intervalu $ I$. Jednadžba

$\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)}+\ldots +a_1(x)\,y'+a_0(x)\,y=f(x)$ (6.47)

se zove linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda.

Cauchyjev problem glasi

$\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots +a_1\,y'+a_0\,y=f(x) $

$\displaystyle y(x_0)=y_0,\;\; y'(x_0)=y'_0,\ldots ,\;\; y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)},$

i ima jedno i samo jedno rješenje.

Jednadžbu

$\displaystyle y^{(n)}+a_{n-1}\,y^{(n-1)}+\ldots +a_1\,y'+a_0\,y=0$ (6.48)

zovemo pripadnom homogenom jednadžbom. Ako je $ f(x)\neq 0,$ onda jednadžbu zovemo nehomogenom. Skup $ X_0$ svih rješenja jednadžbe (6.48) je $ n$-dimenzionalan vektorski prostor. Proizvoljna baza u $ X_0$, tj. proizvoljna uređena $ n$-torka linearno nezavisnih rješenja jednadžbe (6.48) se zove fundamentalni sustav rješenja. Da funkcije $ y_1,\ldots ,y_n\in X_0$ čine fundamentalni sustav rješenja, nužno je i dovoljno da determinanta Wronskog

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 43950
W(x)=W(y_1(x),\ldots ,y_n(x))=\...
..._1^{(n-1)}(x) & \ldots & y_n^{(n-1)}(x)
\end{array}\right\vert \end{displaymath}

bude različita od nule za bar jedan $ x_0\in I$. Ako je $ y_1,\ldots ,y_n$ fundamentalni sustav rješenja jednadžbe (6.48), onda je opće rješenje jednadžbe (6.48)

$\displaystyle y(x)=C_1\,y_1(x)+\ldots +C_n\,y_n(x).$ (6.49)

Označimo s $ X_f$ skup svih rješenja jednadžbe (6.47). Neka je $ y_p\in X_f$. Tada je

$\displaystyle {X_f}=\{y_p+u;\;u\in X_0\}.$

Odatle slijedi da je opće rješenje jednadžbe (6.47) oblika

$\displaystyle y(x)=y_p(x)+C_1\,y_1(x)+\ldots +C_n\,y_n(x).$

Partikularno rješenje $ y_p$ nehomogene jednadžbe možemo dobiti metodom varijacije konstanti. Pretpostavljamo

$\displaystyle y_p(x)=C_1(x)\,y_1(x)+\ldots +C_n(x)\,y_n(x),$ (6.50)

gdje je $ (y_1,\ldots ,y_n)$ fundamentalni sustav rješenja jednadžbe (6.48). Ako funkcije $ C_1(x),\ldots ,$ $ C_n(x)$ zadovoljavaju sustav linearnih algebarskih jednadžbi

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 43976
\begin{split}C'_1\,y_1+\cdots +...
...1\,y_1^{(n-1)}+\cdots +C'_n\,y_n^{(n-1)} & = f, \\  \end{split}\end{displaymath} (6.51)

onda $ y_p$ iz (6.50) rješava nehomogenu jednadžbu. Sustav (6.51) je nehomogen sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Determinanta matrice sustava je determinanta Wronskog, dakle regularna, pa sustav (6.51) ima jedinstveno rješenje.

Ako su u jednadžbi (6.48) koeficijenti $ a_0,a_1,\ldots ,a_{n-1}$ konstante, onda se problem općeg rješenja homogene jednadžbe svodi na problem nalaženja rješenja algebarske jednadžbe n-tog stupnja

$\displaystyle \lambda^n +a_{n-1}\lambda^{n-1} +\ldots +a_1\lambda +a_0=0.$ (6.52)

Jednadžba (6.52) se zove karakteristična jednadžba, a polinom na lijevoj strani karakteristični polinom. Ako su $ \lambda_1 ,\lambda_2 ,\ldots ,\lambda_n$ rješenja jednadžbe (6.52) i međusobno su različiti, onda je opće rješenje homogene jednadžbe

$\displaystyle y(x)=C_1e^{\lambda_1 x}+\ldots +C_ne^{\lambda_n x},$

tj. $ e^{\lambda_1 x},\ldots ,e^{\lambda_n x}$ čine fundamentalni sustav rješenja. Ako je $ \lambda{}$ rješenje jednadžbe (6.52) kratnosti $ k$, onda se fundamentalni sustav rješenja dobiva uzimanjem funkcija

$\displaystyle e^{\lambda x},x\,e^{\lambda x},\ldots ,x^{k-1}\,e^{\lambda x}.$

Ako je funkcija $ f$ posebnog tipa: polinom, eksponencijalna funkcija i slično, onda se partikularno rješenje može pretpostaviti u obliku funkcije istog tipa.

Primjer 6.13   Naći opće rješenje jednadžbe

$\displaystyle y^{\imath v}-y=x\,e^x+\cos x.$

Rješenje. Korijeni karakterističnog polinoma jesu $ 1,-1,i,-i$. Prema tome opće rješenje pripadne homogene jednadžbe je

$\displaystyle y_h(x)=C_1\,e^x+C_2\,e^{-x}+C_3\,\sin x+C_4\,\cos x.$

Partikularno rješenje treba dakle pretpostaviti u obliku

$\displaystyle y_p(x)=x\,(\alpha x+\beta )\,e^x+\gamma x\,\cos x+\delta x\,\sin x.$

Nakon uvrštavanja u jednadžbu dobivamo

$\displaystyle y_p(x)=\left(\frac{1}{8} \,x^2-\frac{3}{8}
\,x\right)\,e^x-\frac{1}{4} x\,\sin x.$

Prema tome opće rješenje je

$\displaystyle y(x)=C_1\,e^x+C_2\,e^{-x}+C_3\,\sin x+C_4\,\cos x+\left(\frac{1}{8}
\,x^2-\frac{3}{8} \,x\right) \,e^x-\frac{1}{4}\, x\,\sin x.$

Harmonijski oscilator

Neka je jedan kraj opruge učvršćen a na drugi kraj je spojeno tijelo mase $ m$. Pretpostavimo da na ovaj sistem ne djeluje sila teža, i da se gibanje vrši po pravcu u smjeru opruge. Izvucimo tijelo iz položaja ravnoteže i pustimo. Ono počinje vršiti neko gibanje.

\includegraphics{m2hosc.eps}
Iz drugog Newtonovog zakona i Hookeovog zakona dobivamo jednadžbu gibanja

$\displaystyle m\,\ddot{x}(t) + k\, x(t) = 0.$ (6.53)

Znati gibanje tijela znači naći iz (6.53) položaj $ x(t)$ tijela kao funkciju od $ t$. Podijelimo s $ m,$ i stavimo $ \frac{k}{m}=\omega_0^2.$ Tako imamo diferencijalnu jednadžbu

$\displaystyle \ddot{x}(t) + \omega_0^2\, x(t) = 0.$

To je homogena linearna diferencijalna jednadžba 2. reda s konstantnim koeficijentima, korijeni karakterističnog polinoma su $ \pm i\,\omega_0,$ i njezino opće rješenje je

$\displaystyle x(t)=D_1\,e^{i\,\omega_0\,t}+D_2\,e^{-i\,\omega_0\,t}.$

Zahvaljujući Eulerovoj formuli (7.1)

$\displaystyle e^{i\,\omega_0\,t} = \cos \omega_0\,t+i\,\sin \omega_0\,t,$

rješenje možemo prepisati u obliku

$\displaystyle x(t)=C_1\,\cos \omega_0\,t+C_2\,\sin \omega_0\,t,$

gdje je $ \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.$ To rješenje se može napisati i ovako

$\displaystyle x(t)=\sqrt{C_1^2+C_2^2} \left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+ C_2^2}}\cos
\omega_0\,t+ \frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\sin \omega_0\,t\right).$

Zbog

$\displaystyle \left(\frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)^2+
\left(\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}\right)^2=1,$

postoji $ \varphi \in [0,2\pi]$ takav, da je

$\displaystyle \frac{C_1}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}=\sin \varphi,\hspace{1cm}
\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2+C_2^2}}=\cos \varphi.$

Odatle

$\displaystyle x(t)=A\sin(\omega_0\,t+\varphi).$

Dakle, masa se giba periodički s amplitudom $ A$ i pomakom u fazi $ \varphi.$ Takvo gibanje se zove slobodno titranje ili slobodne oscilacije, a $ \omega_0$ se zove vlastita frekvencija harmonijskog oscilatora.
\includegraphics{m2harmosc.eps}
Uočimo da u izvođenju jednadžbe (6.53) nije bilo važno na koji smo način pobudili tijelo na gibanje. No ako želimo opisati gibanje tijela, onda to jeste važno. Tako možemo tijelu u čas $ t$ dati neki početni položaj $ x(t_0)=x_0$ i neku početnu brzinu $ \dot{x}(t_0)=\dot{x_0}$. Akceleraciju $ \ddot{x}(t_0)$ već ne možemo proizvoljno odrediti jer je jednadžbom (6.53) dana veza između položaja $ x(t)$, brzine $ \dot{x}(t)$ i akceleracije $ \ddot{x}(t)$ u svakoj točki $ t$ pa i u $ t_0$. To odgovara činjenici da su se u općem rješenju pojavile dvije neodređene konstante $ A$ i $ \varphi.$

Neka se masa giba u sredstvu u kojem je otpor proporcionalan brzini, na pr.

$\displaystyle F_o = - \lambda\,\dot{x}(t).$

U tom slučaju diferencijalna jednadžba glasi

$\displaystyle m\,\ddot{x}(t)+\lambda\, \dot{x}(t)+k\,x(t)=0,$

odnosno

$\displaystyle \ddot{x}(t)+\frac{\lambda}{m}\, \dot{x}(t)+\omega_0^2\,x(t)=0.$

To je također homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Rješenja karakteristične jednadžbe su

$\displaystyle -\frac{\lambda}{2m}\pm\sqrt{\frac{\lambda^2}{4m^2}-\omega_0^2}.$

U slučaju $ \lambda<2m\omega_0$ ta rješenja možemo prepisati kao

$\displaystyle -\frac{\lambda}{2m}\pm i\,\sqrt{\omega_0^2-\frac{\lambda^2}{4m^2}},$

pa imamo opće rješenje

$\displaystyle x(t)=e^{-\frac{\lambda}{2m}}\,(C_1\,\cos \omega_1\,t+C_2\,\sin \omega_1\,t)=
A\,e^{-\frac{\lambda}{2m}}\,\sin(\omega_1\,t+\varphi),$

gdje je $ \omega_1=\sqrt{\omega_0^2-\frac{\lambda^2}{4m^2}}.$ Ovo gibanje se zove prigušeno titranje ili prigušene oscilacije.
% latex2html id marker 29680
\includegraphics{m2harmprigosc.eps}
Faktor $ e^{-\frac{\lambda}{2m}\,t}$ teži prema 0 kad $ t$ teži u beskonačnost, pa je on odgovoran za prigušivanje oscilacija. Ako je $ \lambda\geqslant 2m\omega_0,$ onda su rješenja karakteristične jednadžbe realni brojevi, pa se više ne radi o titranju, već o aperiodičkom gibanju. Evo nekoliko primjera aperiodičkog gibanja
\includegraphics{m2harmaperiod1.eps} \includegraphics{m2harmaperiod2.eps} \includegraphics{m2harmaperiod3.eps}

Ako na sustav djeluje vanjska periodička sila $ F\,\cos\omega t$ po pravcu gibanja, onda je diferencijalna jednadžba

$\displaystyle m\,\ddot{x}(t)+\lambda\, \dot{x}(t)+k\,x(t)=F\,\cos\omega\, t.$

Partikularno rješenje tražimo u obliku

$\displaystyle x_p(t)=a\,\cos\omega\, t+b\,\sin\omega\, t.$

Promotrimo najprije slučaj kad nema otpora sredstva, tj. $ \lambda=0.$ Uvrštavajući $ x_p$ u diferencijalnu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle a=\frac{F}{m\,(\omega_0^2-\omega^2)},\hspace{1cm} b=0.$

Tako je partikularno rješenje

$\displaystyle x_p(t)=\frac{F}{m\,(\omega_0^2-\omega^2)}\,\cos\omega\, t.$

Ovo gibanje se zove prisilno titranje ili prisilne oscilacije harmonijskog oscilatora. Primjećujemo da, bez obzira na $ F,$ amplituda može biti vrlo velika ako je % latex2html id marker 44119
$ \omega\approx \omega_0.$ Ta pojava se zove rezonancija. Titranje sustava duže vrijeme u ovakvim uvjetima može dovesti do zamora materijala i do rušenja sustava. Ako imamo otpor sredstva, onda

$\displaystyle a=\frac{F\,m\,(\omega_0^2-\omega^2)}{\omega^2\,\lambda^2+
m^2\,(\...
...
b=\frac{F\,\omega\,\lambda}{\omega^2\,\lambda^2+m^2\,(\omega_0^2-\omega^2)^2}.$

U tom slučaju je partikularno rješenje

$\displaystyle x_p(t)=
\frac{F}{\sqrt{\omega^2\lambda^2+m^2(\omega_0^2-\omega^2)^2}}
\sin(\omega t+\varphi).$

Sada se više ne može dogoditi da amplituda raste preko svih granica, no ako je $ \lambda{}$ malen (malen otpor sredstva), i % latex2html id marker 44127
$ \omega\approx \omega_0,$ onda amplituda može biti vrlo velika. Dakle i u tom slučaju imamo mogućnost pojave rezonancije. Ipak, ekstremalnu vrijednost amplitude dobivamo za $ \omega<\omega_0.$ Preciznije, ako amplitudu shvatimo kao funkciju od $ \omega,$ deriviramo i izjednačimo s nulom, dobivamo da amplituda ima maksimalnu vrijednost

$\displaystyle A_{max} = \frac{2\,m\,F}{\lambda\,\sqrt{4\,m^2\,\omega_0^2 - \lambda^2}}$

za

$\displaystyle \omega=\omega_0\sqrt{1-\frac{\lambda^2}{2m^2\omega_0^2}}.$

Pitanja

1.
Kako se može naći partikularno rješenje općenito. Objasnite metodu varijacije konstanti.
2.
Napišite linearnu diferencijalnu jednadžbu $ n$-tog reda. Objasnite u vezi s njom pojmove: koeficijenti, funkcija smetnje, struktura skupa svih rješenja, vektorski prostor skupa svih rješenja pripadne homogene jednadžbe, karakteristična jednadžba, metoda varijacije konstanti.
3.
Što znate o harmonijskom oscilatoru? Objasnite pojavu rezonancije.


next up previous contents index
Next: Funkcije kompleksne varijable Up: Obične diferencijalne jednadžbe Previous: Linearna diferencijalna jednadžba 2.   Contents   Index
Salih Suljagic
2000-03-11